第二章 平面电磁波基础12.1 波动方程无源区域麦克斯韦方程为可以导出波动方程：2对于最简单的均匀平面波在横向平面 内场量的大小和方向都是不变的。因此 ，对于沿z轴方向传播的均匀平面波，场 矢量E和H都不是x、y的函数，则有3对于时谐电磁场，类似的可导出复波动 方程同样可综合写为42.2 无界空间的均匀平面波主要内容如下所示： 理想介质中的均匀平面波导体介质中的均匀平面波沿Z轴传播沿任意方向传播52.2.1 理想介质中的均匀平面波1、沿Z方向传播对于正弦均匀平面波，假设其在自由空 间沿Z轴方向传播，且则复波动方程为：6研究其中的正向行波将其代入麦克斯韦第二方程 ，得式中称为媒质的本征阻抗。在自由空间中 可见 和 构成一组沿+z方向传播的分量波。同 样， 和 构成另一组也沿+z方向传播的分量波，它们是彼此独立的。 7电磁强度的的瞬时值表示式为：在固定点观察即确定Z值可定义时间周期T和频率f分别为在确定的时刻t上观察电场随空间坐标的变化，可定义波长为即k 即为单位距离内的全波数，故称为波数。图2.2.2 t=0时刻，的图形8为进一步理解波数k的含义。我们定义一个波数 的基本单位 ，它表示每米空间距离 上的变化周期数。同样对于t=0的时刻，当取时， ，在1m的空间距 离中有一个变化周期，如图所示：9当取 时， 则在1m 的空间距离中有二个变化周期，如下图 所示：10当取 时， ，则在1m 的空间距离中有三个变化周期，如下图所 示：11下图绘出三个不同时刻，Ex随kz变化的图形 。12从图中看出，电场矢量 随着时间 的增加是沿+z 轴方向传播的，此即正向行 波。 在理想介质种，均匀平面波的平均功率流 密度为13在这里应用了矢量恒等式 且考虑到 以及 。 引入本征阻抗 相速度 故平均功率流密度可表示为在无界的理想介质中，式中的 （或 ） 表示理想介质中的总的平均能量密度。平 均电能密度为 ，平均磁能密度为 二者各占一半。142、沿任意方向传播应该指出，并不是在任何情况下设 定波的传播方向为直角坐标系的某 个坐标轴方向都是方便的。譬如将 要讨论的波对分界面斜入射问题， 在设定分界面与某个坐标面平行后 ，波的传播方向就只能是任意方向 。15在右图中，波沿任意方 向传播，设传播方向的 单位矢量为 ，则波矢 量为 ，它与x、 y、z轴的夹角分别 为 、 、 ，则图2.2.6 沿任意方向传播的平面波的等相位面16式中 由于 故有 波矢量与位置矢量的点乘之积 若为常数则确定的平面为 且垂直于波矢量K17因此沿任意方向传播的均匀平面波的电场 强度和磁场强度可表示为这一结果表明，电场矢量E和磁场矢量H都位于 与传播方向垂直平面内，且E和H相互垂直，E、 H、k三者符合右手螺旋关系。 相应的平均坡印廷矢量为易见电磁能量是沿 方向传播的182.2.2 导电介质中的均匀平面波导电介质特性是电导率不等于0，则若令这里的 是介电常数， 是损耗 因子，与电导率和角频率有关。则得19引入等效介电常数后的波动方程为其中20导体介质中对应波动方程的解为故 称为衰减常数， 称为相位常数 定义穿透深度 ，表示传播距离 后， 振幅衰减了 倍z图2.2.7 导电介质中波的传播21与电场E相伴的磁场H可由方程 求得式中称为导电介质的本征阻抗，是一个复数， 与介质参数以及频率有关。22写出的瞬时值形式的电场强度和磁场强度可看出和存在一个相位差。下图绘出某时刻的图 形，可以看出它们的振幅随传播距离z的增大而 按指数规律衰减。图2.2.7 导电介质中波的传播23导电介质中，波的相速度为可见相速度不仅与媒质参数有关，还与频率有关。导电 介质是色散媒质。 导电介质中的平均功率流密度矢量为可见这是沿+z方向传播的衰减波，平均功 率流密度的减小速率为2 。241 良导体 则即有 本征阻抗相速 穿透深度 穿透深度很小，说明良导体中的电磁场实际只能 存在于表面薄层内。这种现象称为趋肤效应，穿 透深度又称为趋肤深度。 252 低损耗介质即有 则26例： 海水的电参数为：电导率 ，相 对介电常数 ，相对磁导率 。设 频率 的平面波在海水中传播，试 计算：相位常数、衰减常数、相速、本 征阻抗和趋肤深度。 解： 可见，在100KHz的频率上，海水为良导 体。故相位常数27衰减常数 相速本征阻抗趋肤深度282.3 平面波的极化2.3.1 平面波的极化概念 讨论具有如下电场矢量表示的均匀平面波 这是包含Ex和Ey两个分量、沿+z轴方向传播的均匀平面波。292.3.2 平面波的极化形式 取z=0，此时的式子变为考虑以下几种情况 1线极化波 若 ，式中的n=0，1，2 即Ex与Ey同相，例如取 ，则有矢量的端点在如图（a）所示的一条直线上运动 ，是线极化波。 30若 ，式中的n=0，1，2 即Ex与Ey反相，例如取 ，则有矢量的端点在如图（b）所示的一条直线上运动，也是线 极化波。 结论：若两个频率相同、传播方向也相同的电场分量同 相或反相，则合成电场描述一个线极化波。312圆极化波若 ，且 ，即Ex分量 的相位超前于Ey分量的相位，且振幅相 等。例如取 ，则有不难看出,Ey分量取最大值时 ，Ex分量 为零。随着时间的增大，Ex分量逐渐增 大，Ey分量则逐渐减小。 的端点将由方向朝 的负方向旋转，如下图(a)所 示。易见这是一个半径为的圆方程。且 表示的是一个右旋圆极化波。32若 ，且 ，即Ex分量的相位 落后于Ey分量的相位，且振幅相等。同上分析可知此时表示的是一个左旋圆极化波 。结论：若两个频率相同，传播方向也相同 的电场分量的振幅相等，相位差为，则合成电 场描述一个圆极化波。 图2.3.2 圆极化波（在z0平面上）333. 椭圆极化波若电场矢量的两个分量的振幅和相位是任意的 ，则描述的是一个椭圆极化波。为简化分析，但又不失一般性，我们取 ，则有在上式中消去时间变量t，得这是一个椭圆方程。当 时，表示一 个右旋椭圆极化波，当 时，表示一 个左旋椭圆极化波 34从上面的讨论可以看出，两个线极化波 可以合成其它极化形式的波，譬如圆极 化波、椭圆极化波或新的线极化波；任 意一个椭圆极化波或圆极化波可以分解 为两个线极化波。 图2.3.3 椭圆极化波35在一个固定时刻，譬如取t=0，得即：电场矢量的端点沿+z轴运动的轨迹是一个 螺距为的右旋螺旋线。若是右旋圆极化波，电场矢量端点随z变化则与z轴成左旋关系。 图2.3.4 圆极化波在空间的分布362.3.3 Poincare极化球和Stokes参数 对于严格的单色波，它是全极化的。斯 托克斯（Stokes）提出的表征一个波的 振幅和极化的四个参数是：称为Stokes参数。式中的 、 和 分别 是场分量的振幅及其相位差。 37参数S0和S1直接给出振幅， 和 可以由 S0和S1求得，相位差可由S2或S3确定。另 外，还可看出若将 看作是半径为 的球上一点 的三个直角坐标分量， 和 分别是该点 的俯仰角和方位角，则所有的极化状态 都可用一种简单 的几何关系表示出来。每种极化状态都对应着球上的一个点， 反之球上每一个点也对应着一种极化状 态。381线极化 设 都不为零，则此 时 则 可见，线极化波的所有点都 在Poincare球的赤道上。 2左旋圆极化 此时 ， 。则有：可见，表示左旋圆极化波的点在Poincare球的北极点 3右旋圆极化 同理可判断右旋圆极化波的点在Poincare球的南极点。图2.3.6 Poincare球394左旋椭圆极化此时 ，据 知 。可见 ，表示左旋椭圆极的点都在Poincare球 的上半球面。 5右旋椭圆极化此时 ，故有 。可见，表示右 旋椭圆极的点都在Poincare球的下半球 面。402.4 平面波对不同媒质分界面的垂直入射电磁波从一种媒质中传播到与另一种媒 质的分界面时，由于分界面两侧媒质的 本征阻抗不同，故要发生波的反射和透 射现象。入射波的一部分在分界面处被 反射，形成反射波；另一部分将透过分 界面在另一种媒质中继续传播，形成透 射波。 本着从简单到复杂的认识规律，我们先 讨论垂直入射，随后再讨论斜入射。 41单一频率的均匀平面波从半无界的媒质1 中垂直入射到与媒质2的分界面上，设分 界面为无限大平面z=0。媒质1（ 的 区域）的电参数为 ，媒质2（ 的区域）的电参数为 。为简化讨 论，设入射波为x方向的线极化波。图 2.4.1描绘出入射波、反射波和透射波的 正方向，入射波和透射波沿+z方向传播 ，反射波沿-z方向传播。 2.4 平面波对不同媒质分界面的垂直入射42EiHiSiErHrSrHtEtStzyxo媒质1媒质2图2.4.1 平面波垂直入射到z=0的平面43式中的 是媒质1中的相位常数，是媒质1的本征阻抗。媒质2是理想导体，其本征阻抗 。 当入射波达到其表面时将被全部反射， 形成沿-z 方方向传播的反射波。其电场 强度和磁场强度分别为（2.4.3）（2.4.4） 44考虑功率密度有则有验证了电磁能量守恒定律45媒质1中同时存在入射波和反射波，二者叠 加构成媒质1中的合成波，其总电场为根据理想导体的边界条件，在z=0处应 有 即 （2.4.5） 因此，媒质1中的总电场为 46（2.4.6） 媒质1中的总磁场为 (2.4.7) 由式（2.4.7）看出，在z=0处，媒质1中的 合成磁场为 ，而媒质2中 ，即分界面上磁场强度的切向分量不连续 ，因此分界面上存在表面电流，有 47（2.4.8） 为便于讨论 媒质1中合成波的时空特性， 写出总电场 和总磁场的瞬时值 表示式48图2.4.2是根据式（2.4.9） 和式（2.4.10） 绘出的和的图形，从图形可看出此时已不存在 波的移动，而只是在原处随时间的变化而上下49振动。从图中还看到驻波电场和驻波磁 场的时间相位、空间相位都相差，即在 时间上两者有的相差 ，在空间位置上 错开 。ozxExzyHyo图2.4.2 对理想导体垂直入射时，合成波电场、磁场的时空关系50媒质1中的合成波的平均坡印廷矢量为结果说明在驻波状态下没有电磁能量的流 动。事实上，在 处，瞬时坡印 廷矢量始终 为零，因此电磁能量仅在 范围内流动，在电场 与磁场之间不断进行 能量交换。例2.4.1 有一右旋圆极化波从空气中垂直51入射到位于z=0处的理想导体板上，已知电 场强度的表示式为 式中的 （1）判定反射波的极化形式； （2）求理想导体板上的面电流密度。解：（1）设反射波电场的表示式为 例2.4.1 有一右旋圆极化波从空