离 散 数 学 (II)古典代数与近世代数v古典代数的研究对象：方程以方程根的计算与分布为其研究中心v近世代数的研究对象：代数系统v古典代数的发展过程导致了群的概念的 提出，发展成了近世代数古典代数的发展过程一元一次方程 公元前1700年一元二次方程 公元前几世纪 巴比伦人一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法唐朝数学家王孝通缉古算经西方：16世纪 意大利数学家卡丹公式古典代数的发展过程一元四次方程 Ferrari L化为求一个三次方程和两个二次方程的根 一元五次方程失败：Euler L(1707 -1783) 、Van de monde、Lagrange J L、Ruffini P、Gauss K F19世纪 法国青年数学家 Galois :五次以上方程无根式解Galois(18111832)-近世代数的创始人Evariste Galois 近世代数的特点 - 抽象代数系统：群环域格布尔代数离散数学II第六章 群 与 环6.1 代 数 系 统l 代数运算的定义及其性质l 代数系统的定义二元代数运算 设S是一个非空集合，称SS 到S的一个映射f为S的一个二元代数运算， 即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯 一确定S中一个元素c：f（a，b）= c，常记 为a * b = c。 Note：代数运算是闭运算。 该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/， 意义很广泛。 类似地，可定义S的n元代数运算： Sn到S的映射 。代数运算的定义 加法和乘法是自然数集N上的二元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数运算加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元代数运算；除法不是Z上的二元代数运算乘法、除法是非零实数集R* 上的二元代数运算；加法和减法不是R*上的二元代数运 算代数运算的例子矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的 二元代数运算。设S是一个非空集合，（S） 是S的幂 集，则、是（S）上的二元代数运 算。、 都是真值集合0，1 上的二元代数运算。 代数运算的例子设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于 任意a，b S ，a * b = b * a 都成立，则称 运算 * 满足交换律。 例.设Q为有理数集合，对任意a,bQ ,定义 Q上的运算如下 ：a b=a+b-a b，则 是Q上的二元代数运算，且满足交换律：ab=a+b-a b= b + a - b a= ba 代数运算的性质交换律设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于 任意a，b，c S ，(a * b)*c =a*(b * c)都成 立，则称运算 * 满足结合律。例.设A是一个非空集合，对任意a,b A， 定义A上的运算如下：ab=b，则是A上的二元代数运算，且满足结合律 :(ab)c=bc = ca(bc)=ac = c代数运算的性质结合律设 * 是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a * a = a,则称a是关于运算 * 的幂等元。如果S中每个元素都是关于 * 的幂等元，则称运算*满足等幂律。 结论：若a是关于运算 * 的幂等元，则对于任意正整数n，an=a .代数运算的性质等幂律 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a，b，c S, a * （b + c） = （a * b） + （a * c），（b + c） * a = （b * a） + （c * a）都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。（Note: *未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必成立）代数运算的性质分配律例. 设A=，二元运算*,+定义如下:问分 配律成立否？ * + 证明：x +(y*z)=(x + y)*(x + z) 证：当x=：x +(y*z)= ; (x + y)*(x + z)=当x=：x +(y*z)=y*z ; (x + y)*(x + z)=y*z 运算*对运算+不可分配证：*（ + ）=*=（*） + （* ）= + = 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a,b S, a*(a+b)=a ，a+(a*b)=a，都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例. 定义自然数集合N上的运算* 和 + 如下：对于任意a，bN ，有 a * b=maxa,b, a + b=mina,b，则* 和 +是N上的二元代数运算，且满足吸收律a*（a + b）=maxa,mina,b=a,a + （a * b） = mina,maxa,b=a.代数运算的性质吸收律设 * 是集合S上的二元代数运算，如果S中存在元素 ，使得对于S中任意元素a，都有a * = ， * a = ，则称是S上关于运算*的零元。设 * 是集合S上的二元代数运算，对于S中任意三个元素a，b，c，其中a不等于零元，如果有（1）若 a * b = a * c，则b = c，（2）若 b * a = c * a，则b = c，就称 * 满足消去律。代数运算的性质消去律例. n阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律.因为但例. 整数集Z上的加法、乘法都满足结合律和交换律，乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；减法不满足结合律，也不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。例. n阶实矩阵集合上的加法满足结合律，也满足交换律；乘法满足结合律，但不满足交换律；它们都不满足等幂律，也不满足吸收律。代数运算性质例例.设（S） 是非空集合S的幂集，则（S）上的交运算、并运算都满足结合律，交换律，对、对都满足分配律，它们 都满足等幂律，也满足吸收律,但、不满足 消去律。代数运算性质例设S是一个非空集合，f1，fm是S 上的若干代数运算，把S及其运算f1，fm看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（S， f1，fm） 代数系统的定义例. 设S是一个非空集合，（S） 是S的幂集，则（S），）为代数系统。例. 设、是真值集合0，1上的合取与析取运算，则（0，1，）是代数系统。代数系统的例例. 设Z为整数集，Z0为偶数集，N为自然数集，+、 是数的加法和乘法，则（Z,+）、（Z,）、（Z,+,）、（Z0,+）、（Z0, ）、（Z0, +,）、（N,+）、（N,）、（N,+,）都是代数系统。例. 设 、 分别表示求最大公约数和求最小公倍数的运算，那么（Z,）、（Z0,）、（N,）都是代数系统。代数系统的例