Black-Scholes期权定价模型*1Black-Scholes期权定价模型的基本思路n期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。n标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。n金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。n在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如 果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的 组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利 率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。n求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。Date2为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?n期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相 对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。n期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化 ，在现实中，资产价格总是随机变化的。需要 了解其所遵循的随机过程。n研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。Date3随机过程n随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式 随时间变化的过程。n随机过程的分类q离散时间、离散变量q离散时间、连续变量q连续时间、离散变量q连续时间、连续变量Date4几种随机过程n标准布朗运动（维纳过程 ）q起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大量 微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。 q设t代表一个小的时间间隔长度，z代表变量z在t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的z具有两种特征：n特征1： 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。n特征2：对于任何两个不同时间间隔t ，z的 值相互独立。q特征的理解n特征1：n特征2: 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未 来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的 演变方式与未来的预测无关。标准布朗运动符合马尔可 夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 Date5标准布朗运动（续）n考察变量z在一段较长时间T中的变化情形：qz（T）z(0)表示变量z在T中的变化量 q又可被看作是在N个长度为t的小时间间隔中z的变化总量， 其中N=T/ t 。q很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：n因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方 差为N t =T，标准差为 。n为何定义为：q当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时， 独立的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可 加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方 法的影响。q相应的一个结果就是：标准差的单位变为n连续时间的标准布朗运动：q当t 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动Date6普通布朗运动n变量x遵循普通布朗运动：q其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。 q这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量 x均值的变化值。 q这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间 的方差。 q这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第 一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为 a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 n可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态 分布特征，其均值为aT，标准差为 ,方差为b2T.Date7Ito过程和Ito引理n伊藤过程（Ito Process）：q普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变 量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变 化。这就是伊藤过程。nIto引理q若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下 过程：其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a 和b 都是x和t的函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率 为 方差率为Date8证券价格的变化过程n目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确 地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理 上的简单性。n基本假设：证券价格所遵循的随机过程：q其中，S表示证券价格，表示证券在单位时间内以连续 复利表示的期望收益率（又称预期收益率），2 表示证券 收益率单位时间的方差，表示证券收益率单位时间的标准 差，简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗 运动。 一般和的单位都是年。q很显然，这是一个漂移率为S、方差率为2S2的伊藤 过程。也被称为几何布朗运动Date9为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？n一般认同的“弱式效率市场假说”：q证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有 用的信息。q马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变 量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 。q几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性 质，符合弱式假说。n投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资 者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格 以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股 票价格。n几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不 是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比 较符合现实。Date10百分比收益率与连续复利收益率n百分比收益率：n连续复利收益率:n百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点：q有限责任原则：n金融学中常常存在对实际收益率（近似）服从正态分布的隐含假定，但是在有 限责任（投资者顶多赔偿全部的投资，不会损失更多）原则下，百分比收益率只在1和 之间变化，不符合正态分布假定。n对数收益率（ ， ）：更适合于建立正态分布的金融资产行为模型。q多期收益率问题：n即使假设单期的百分比收益率服从正态分布，多期的百分比收益率是单期百分 比收益率的乘积，n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量。从而产生悖论。n多期的对数收益率是单期的对数收益率之和，仍然服从正态分布。q交叉汇率问题：n如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收 益率，两者绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布； 交叉汇率的收益率难以直接计算。n如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反； 可以满足同时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。n连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均 。Date11几何布朗运动的深入分析n在很短的时间t后，证券价格比率的变化值 为：n可见，在短时间内， 具有正态分布特征n其均值为 ，标准差为 ，方差为 。 Date12几何布朗运动的深入分析（2）n但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正 态分布的性质：q多期收益率的乘积问题q因此，尽管是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 。股票价格的年波动率并 不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。Date13几何布朗运动的深入分析（3）n如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用 Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的 随机过程：n这个随机过程的特征：q普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率 。q在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态 分布，均值为 ，方差为 。标 准差仍然可以表示为 ，和时间长度平方根成 正比。q从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到 两个结论:Date14（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分 布。n令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表 示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将 来时刻）的证券价格，则在Tt期间G的变化为：q这意味着： n进一步从正态分布的性质可以得到n也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变 量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。n 这正好与作为预为预 期收益率的定义义相符。Date15（2）股票价格对数收益率服从正态分布n由于dG实际上就是连续复利的对数收益率。 因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵 循普通布朗运动，对数收益率的变化服从正态 分布，对数收益率的标准差与时间的平方根成 比例。n将t与T之间的连续复利年收益率定义为，则Date16结论n几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。Date17参数的理解n：q几何布朗运动动中的期望收益率，短时时期内的期望值值。q根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风 险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素 ，因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明 ，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的。q较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这 是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收 益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结 果。n：q是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准 差q因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准 差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。q一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易 天数而不采用日历天数。 Date18小结n我们可以用几何布朗运动来描述股票价格的运 动：符合弱式有效、对数正态分布的市场现实 ，以及投资者对收益率而非价格的关注。n根据Ito引理，可以得到衍生证券所遵循的随 机过程。n股票价格遵循几何布朗运动，可以得到未来的 某个时刻股票价格服从对数正态分布的结论Date19Black-Scholes微分方程：基本思路n思路：由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种 不确定性（dz）影响，若匹配适当的话，这种不确定 性就可以相互抵消。因此布莱克和舒尔斯就建立起一 个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头 的投资组合。若数量适当的话，标的证券多头盈利（ 或亏损）总是会与衍生证券空头的亏损（或盈利）相 抵消，因此在短时间内该投资组合是无风险的。那么 ，在无套利机会的情况下，该投资组合在短期内的收 益率一定等于无风险利率。Date20Black-Scholes微分方程：假设n假设：q证券价格遵循几何布朗运动，即和为常数；q允许卖空；q没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分 的；q在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支 付；q不存在无风险套利机会；q证券交易是连续的，价格变动也是连续的；q在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。q欧式期权，股票期权，看涨期权 Date21股票价格和期权价格服从的随机过程Date22Black-Scholes微分方程n推导过程q根据（1）和（2），在一个很小的时间间隔里 S和f的变化值分别为q为了消除 ，我们可以构建一个包