1/20一元复合函数求导法则本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分 微分法则即 全微分形式不变性2/20一、多元复合函数求导的链式法则1. 【一元函数与多元函数复合的情形】【定理1】若函数处偏导数连续, 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则【证】在点 t 可导, 3/20( 全导数公式 )4/20 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.例如以上公式中的导数 称为全导数全导数. .口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导.从定理1的证明过程可以看出，要求外层函数具有“连续偏导数”，可以减弱为外层函数“可微”。说明 5/20推广2. 【多元函数与多元函数复合的情形】口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导.6/20口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导.7/203.【其它情形】 【定理3 】且有口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导8/20即其中变量关系为：特殊情形两者的区别函数复合后求偏导外层函数求偏导9/20 上述定理成立的条件都是充分的：条件都是(2) 内层函数偏导存在.【总结规律】链式图与链式法则之间的对应关系是(1) 外层函数偏导连续（可降为可微）注(2) 每一项中: 函数及中间变量的个数= 偏导数乘积因子的个数(1) 法则中项数图中路径条数10/20【解】自画链式图11/20对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v 用x，y的表达式代入，则得到 二元复合函数，根据一元函数的复合函数的求导法则，得【解】12/20【解】自画链式图【解】 将u,v函数表达式代入 z 后化为t 的一元函数再对t 求导(略)13/20【解】令记同理有求抽象函数的偏导数，一般要先设中间变量.分析【例3】 14/20于是用观察法可一步写出一阶偏导数结果.【注意】15/20 课本例5略练习 习题9-4 P82 110作业 习题9-4 P82 2、4、6、9、10要求: 复合函数的一阶偏导数的求法及 练习题要会做.16/20 二、全微分形式不变性多元复合函数的全微分17/20(1)由全微分形式不变性，易得全微分四则运算公式，例如(2)由全微分形式不变性及上述公式，求函数的全微分或偏导数会更简便些.全微分形式不变性的简单应用无论 是自变量 的函数或是中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的. 全微分形式不变性的实质18/20【解】【课本例6】用全微分形式不变性解本节例1代入后合并dx及dy同类项19/201、链式法则（分三种情况）3、全微分形式不变性（特别要注意Th3所讲的特殊情况）（理解其实质）三、小结2、复合函数偏导数存在的充分条件（1）外层函数偏导连续（可减弱为可微）（2）内层函数偏导存在“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”不论 u , v 是自变量还是中间变量,都有20/20P83 题8(2) 思考与练习，其中 f 一阶偏导连续，求 u 的一阶偏导数.