电工技术电工技术 O t u1 2 3 第第5 5章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路 电工技术电工技术 第第 5 5 章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路 课堂讨论 下一章 上一章 5.1 5.1 非正弦周期函数的分解非正弦周期函数的分解 5.3 5.3 非正弦周期电量的有效值非正弦周期电量的有效值 5.2 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算线性非正弦周期电流电路的计算 返回主页制作5.1 5.1 非正弦周期函数的分解非正弦周期函数的分解第5章 非正弦周期电流电路 一、周期函数的傅里叶级数 f ( t ) = f ( t k T ) 若满足狄里赫利条件： f ( t ) 在任一周期内绝对可积。 f ( t ) 在任一周期只有有限个极大值和极小值。 f ( t ) 在任一周期只有有限个第一类间断点。 则可展开成傅里叶级数，即f ( t ) = A0 Akm sin (k t k ) k=1直流分量谐波分量5.1 非正弦周期函数的分解 式中Akm 和 k 与 Bkm 和 Ckm 的关系： Bkm = Akm cosk Ckm = Akm sink A0 = f ( t ) d( t ) 2 0 直流分量 傅里叶级数或写成： f ( t ) = A0 Bkm sin k t Ckm cos k t k=1k=1谐波分量 AkmBkmCkmkBkm = f ( t ) sin k t d( t ) 2 0 1 Ckm = f ( t ) cos k t d( t ) 2 0 1 5.1 非正弦周期函数的分解 关于谐波 k = 1 的项称为基波， 1 = 。k = 2 的项称为二次谐波，2 = 21 。 k = 3 的项称为三次谐波，3 = 31 。 三次以及三次以上的谐波称为高次谐波。 5.1 非正弦周期函数的分解 1. 奇函数的傅里叶级数 f ( t ) = f ( t ) 二、特殊函数的傅里叶级数 f ( t ) = Bkm sin k t k=12. 偶函数的傅里叶级数 f ( t ) = f ( t ) f ( t ) = A0 Ckm cos k t k=15.1 非正弦周期函数的分解 三、常见电压波形的傅里叶级数 u1 0 t Um 2 3 4 5 0 t Um u2 2 3 Um 1. 矩形波 2. 三角波 u2 = sin t sin3 t sin5 t 8Um 2 1 25 1 9 ( ) u1 = sin t sin3 t sin5 t 4Um 1 3 ( ) Um 2 1 5 5.1 非正弦周期函数的分解 0 t Um u3 2 3 0 t Um u4 2 3 3. 锯齿波 4. 全波整流波 u3 = Um sin t sin2 t sin3 t 1 2 1 1 3 ( 1 2 ) u4 = 1 cos2 t cos4 t cos6 t 2Um 2 3 2 15 2 35 ( ) 5.2 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算线性非正弦周期电流电路的计算 第5章 非正弦周期电流电路 基本方法 将非正弦周期激励分解为傅里叶级数。 按照叠加定理的方法，分别求出直流分量和各 次谐波单独作用时的响应，然后将各响应的瞬 时值叠加即为所求。 解：uS = US0uS1uS3 (1) 当 US 单独作用时 I20 = 0 I10 = = 1 A US0 R1 (2) 当 uS1 单独作用时 jL1 = = j33.28 1 jC1 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算 L1 i2 R2 R1 uS L2 C1 i1 C2 例5.1 电路如图所示，已知 = 314 rad/s，R1 = R2 = 10 ，L1 = 0.106 H，L2 = 0.0133 H，C1 = 95.68 F， C2 = 159 F， 求 i1( t ) 和 i2( t )。 uS = 1020 2 sin t10 2 sin3 t V。 L1 i2 R2 R1 uS L2 C1 i1 C2 由此可见，L1 与C1并联支路发生了并联谐 振， 相当于开路。因此j3L1 =j12.5 1 j3C1 即 i11 = i21 = sin( t45o ) A (3) 当 uS3 单独作用时I11m = I21m = R1R21 jC2 US1m = 1 45o A j3L2 = j12.5 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算 由此可见，L1 与 C1 并联后再与 L2 的串联 支路发生了串联谐振，相当于短路。因此即 i23 = 0 I23m = 0 US3m R1 I13m = = 2 0o A i13 = 2 sin3 t A i1 = I10 i11i13= 1sin( t45o ) 2 sin3 t A i2 = I20 i21i23= sin( t45o ) A (4) 将各响应分量叠加 5.3 5.3 非正弦周期电量的有效值非正弦周期电量的有效值 第5章 非正弦周期电流电路 一、有效值的推导 根据I = i2 dt T 0 1 T 设非正弦周期电流为 i = I0 Ikm sin (k t k ) k=1则 I = I0 Ikm sin (k t k ) dt T 0 1 T k=1 2结论 I = I0 Ikm 2k=121 2 = I0I1I2I32 2 2 2 5.3 非正弦周期电量的有效值 同理可得 二、有功功率（平均功率） U = U0U1U2U32 2 2 2 设非正弦周期电流和电压分别为 i = I0 Ikm sin (k t k ) k=1u = U0 Ukm sin (k t k ) k=1则 I0 Ikm sin (k t k ) dt k=1 P = T 0 1 T U0 Ukm sin (k t k ) k=1 5.3 非正弦周期电量的有效值 结论 P = U0I0 UkIk cosk k=1P = U0I0 Pk k=1= U0I0U1I1 cos1 U2I2 cos2 说明 k = k k，即同次谐波电压与电流的相位差。 同次谐波的电压与电流才构成有功功率。 不同次谐波的电压与电流不构成有功功率，但是存在 瞬时功率，该瞬时功率在一个周期上的平均值为零。 非正弦周期电流电路的有功功率等于直流分量构成的 功率和各次谐波分量构成的有功功率之和。 例5.2 电路如图所示，已知 R = 200 ，C = 50 F， = 314 rad/s，u1 =9060cos2 t12 cos4 t V。求 输出电压 u2、电流 i 的有效值以及电阻 R 所消耗的功率， 并说明该电路的功能。 解：u1 = U10u12u14 (1) 当 U10 单独作用时 I0 = 0 U20 = U10 = 90 V (2) 当 u12 单独作用时 u12 = 60cos2 t V = 60sin(2 t90o ) V 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算 C R u1 i u2 1 2C1 XC = = 31.85 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算 C R u1 i u2 U22m =jXC I2m = 9.5 170.95o V 即 i2 = 0.3sin(2 t80.95o ) A u22 = 9.5sin(2 t170.95o ) V (3) 当 u14 单独作用时 u14 = 12cos4 t V = 12sin(4 t90o ) V XC = = 15.92 1 4C1 I2m = = 0.3 80.95o A U12m R1jXC I4m = = 0.06 85.45o A U12m R1jXC 因此 i = I0i2i4 u2 = U20u22 u24 i = 0.3sin(2 t80.95o )0.06sin(4 t80.95o ) Au2 = 909.5sin(2 t170.95o )0.955sin(4 t175.45o ) V (4) 电流 i 的有效值及电阻的功率 5.2 线性非正弦周期电流电路的计算 U24m =jXC I4m = 0.955 175.45o V 即 i4 = 0.06sin(4 t80.95o ) A u24 = 0.955sin(4 t175.45o ) V I = I0I2I4 2 2 2 = 0.216 A P = RI 2 = 9.33 W 或 P = RI0RI2RI4 2 2 2 = 9.36 W 滤波电路0 t u2 2 3 U10 5.3 非正弦周期电量的有效值 结论 电容的电容值越大，输出 电压的谐波分量就越小。 C R u1 i u2 (5) 电路的功能 比较输入电压与输出电压： u1 = 90(60cos2 t ) (12cos4 t ) V u2 = 909.5sin(2 t170.95o )0.955sin(4 t175.45o ) V U10 0 t u1 2 3 u1u12u14u2课课 堂堂 讨讨 论论第5章 非正弦周期电流电路 5.1 某周期为 0.0