专题五 立体几何 第1讲 平面的基本性质及线、面的位置关系1.点、线、面的位置关系（1）公理1 A ，B ，AB .（2）公理2P ,且P ， =l，且Pl.（3）公理3 A，B，C三点不共线，A，B，C 确定 一个平面.三个推论：过两条相交直线有且只有一个平面.过两条平行直线有且只有一个平面.过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.（4）公理4ac,bc,ab.(5)等角定理OAO1A1，OBO1B1， AOB=A1O1B1或AOB+A1O1B1=180.2.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理a ,b ,ab, a .(2)线面平行的性质定理a ,a , =b,ab.(3)面面平行的判定定理a ,b ,ab=P,a ,b , .(4)面面平行的性质定理 , =a, =b,ab.3.直线、平面垂直的判定及其性质（1）线面垂直的判定定理m ,n ,mn=P,lm,ln,l .（2）线面垂直的性质定理a ,b ,ab.（3）面面垂直的判定定理a ,a , .（4）面面垂直的性质定理 , =l,a , al,a .4.异面直线所成的角（1）定义.（2）范围： (0, .（3）求法：先通过取中点或作平行线找到两异面 直线所成的角，然后解含有这个角的三角形.若求 得的角为钝角，则这个角的补角才为所求.5.直线与平面所成的角（1）定义.（2）范围： 0, .（3）求法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得.6.二面角（1）定义.（2）找二面角平面角的方法定义法.垂面法.垂线法.特殊图形法.垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：a.弄清该二面角及它的棱.b.考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平 面的直线（往往先找垂面再找垂线）.c.过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂 线，连结垂足与另一个端点，所得到的角（或其补 角）就是该二面角的平面角.d.解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大 小.7.唯一性定理（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线.（2）过平面外一点有且只有一个平面平行于已知平面.（3）过空间一点有且只有一条直线垂直于已知平面.（4）过空间一点有且只有一个平面垂直于已知直线.一、线线、线面的平行与垂直例1 正三棱柱A1B1C1ABC中，点D是BC的中 点，BC= BB1，设B1DBC1=F.求证：（1）A1C平面AB1D；（2）BC1平面AB1D.思维启迪 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第（1）问可利用“线线平行”或“面面平行”，第（2）问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”.证明 （1）连结A1B，设A1B与AB1交于E，连结DE.点D是BC中点，点E是A1B中点，DEA1CA1C 平面AB1D，DE 平面AB1D，A1C平面AB1D. (2)ABC是正三角形，点D是BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1BCC1，平面ABC平面B1BCC1=BC，AD 平面ABC，AD平面B1BCC1，BC1 平面B1BCC1，ADBC1.点D是BC的中点，BC= BB1，BD= BB1. ，RtB1BDRtBCC1.BDB1=BC1C.FBD+BDF=C1BC+BC1C=90.BC1B1D.B1DAD=D，BC1平面AB1D.探究提高 解决此类问题要注意线线平行（垂直）,线面平行（垂直）与面面平行（垂直）的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时，若题目中已出现了中点，可考虑在图形中再取中点，构造中位线进行证明.变式训练1 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.（1）求证：D1CAC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.（1）证明 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，连结C1D，DC=DD1，四边形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1=D，AD平面DCC1D1，D1C 平面DCC1D1，ADD1C.AD、DC1 平面ADC1，且ADDC1=D,D1C平面ADC1，又AC1 平面ADC1,D1CAC1.（2）解 连结AD1，AE，设AD1A1D=M，BDAE=N，连结MN，平面AD1E平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，须使MND1E，又M是AD1的中点，N是AE的中点.又易知ABNEDN，AB=DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD. 二、面面平行与垂直 例2 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB，F、F1分别是AC、A1C1的中点.求证：（1）平面AB1F1平面C1BF；（2）平面AB1F1平面ACC1A1.思维启迪 本题可以根据面面平行和垂直的判定定 理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件.证明（1）在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、F1分别是AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1=F1，BFC1F=F，B1F1、AF1 面AB1F1，BF、C1F 面C1BF，平面AB1F1平面C1BF.（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，F1是A1C1的中点.B1F1AA1，B1F1A1C1.又A1C1AA1=A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1 平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1. 探究提高 （1）要证两平面平行，常根据：“如 果一个平面内有两相交直线分别和另一平面平行， 那么这两个平面平行”或“一个平面内两相交直线分别与另一平面内两相交直线平行，那么这两个平面平行”，还可以利用线面垂直的性质，即“垂直 于同一条直线的两个平面平行”.（2）要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经 过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”.从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂 直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行. 变式训练2 （2009江苏，16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C.求证：（1）EF平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C.证明 （1）由E、F分别是A1B、A1C的中点知EFBC.因为EF 平面ABC,BC 平面ABC.所以EF平面ABC.（2）由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1.又A1D 平面A1B1C1，故CC1A1D.又因为A1DB1C，CC1B1C=C,CC1、B1C 平面 BB1C1C，故A1D平面BB1C1C，又A1D 平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.三、平面图形的折叠问题例3 （2009茂名模拟）已知四边形ABCD是等 腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB （如图1）.现将ADE沿DE折起，使得AEEB （如图2）,连结AC，AB，设M是AB的中点.（1）求证：BC平面AEC；（2）判断直线EM是否平行平面ACD，并说明理由.思维启迪 （1）在梯形DEBC中，用数量关系证明 BCEC.（2）可用反证法，假设EM平面ACD，可推出矛 盾.证明 （1）在图1中，过C作CFEB垂足为F，DEEB，四边形CDEF是矩形.CD=1，EF=1.四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，AE=BF=1.BAD=45，DE=CF=1.连结CE，则CE=CB= .EB=2，BCE=90.即BCCE.在图2中，AEEB，AEED，EBED=E，AE平面BCDE.BC 平面BCDE，AEBC.AECE=E，BC平面AEC. （2）用反证法.假设EM平面ACD.EBCD，CD 平面ACD，EB 平面ACD,EB平面ACD.EBEM=E，平面AEB平面ACD.而A平面AEB且A平面ACD，与平面AEB平面 ACD 矛盾.假设不成立.EM与平面ACD不平行.探究提高 （1）解决与折叠有关的问题的关键是 搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线 段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化， 抓住不变量是解决问题的突破口.（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形， 既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.变式训练3 如图，长方形ABCD中，BC= ，AB=6，把它折成正三棱柱的侧面（如图），使AD 与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分 别交于M、N，连接AN.（1）求多面体AMND的体积；（2）求证：平面DMN侧面ADFE.（1）解 由题知，长方形被折成正三棱柱，故AE=EG=GA=2，AD=3.如图，由于AEG-DFH是正三棱柱，EF平面AGHD.M与E到平面AGHD的距离相等.取AG的中点Q，连接EQ，则EQ平面AGHD.正三角形AEG的边长为2.EQ= .又SAND= 2 = .VM-AND= =1.所以多面体AMND的体积为1.（2）证明 如图，取AE、DF的中点K、L，连接KL 交DM 于O，连接NO，过N作NPHF交EF于P.在RtDHN与RtNPM中，DH=NP=2，NH=MP= .RtDHNRtNPM，DN=NM.又K、L分别为AE、DF的中点，OLMF，O为DM的中点，NODM.而OL MF NH，且NHHL，四边形NHLO是矩形.NOKL.又DMKL=O，NO平面ADFE.而NO 平面DNM,平面DMN侧面ADFE.规律方法总结1.线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化.在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法.不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系.2.弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明.3.图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化.一、选择题1.（2009江西文，9）如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 （ ）A.ACBDB.AC截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45解析 截面PQMN为正方形，PQM