2.3.1 函数极值的概念2.3.2 函数极值的求法 第2章 极限2.3 函数的极值2.3.3 函数最值的求法 2.3.3 函数最值应用举例 首页上页返回下页yxOabyf(x)x1f (x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值 f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各 点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：首页上页返回下页2.3.1 函数极值的概念设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点如果对于点 x0近旁的任意一点 x ，均有 f ( x ) 0f (x)0 f (x)0首页上页返回下页2.3.2 函数极值的求法(1) 确定函数的定义域；求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤：(2) 求出导数f(x)； (3) 令f (x)=0，求出 f (x)的全部驻点；(4) 用驻点把定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内 f (x) 的符号，以确定每个驻点是否是极值点，若是极值点，确定是极大点还是极小点 。首页上页返回下页例求 (4) 列表讨论，如下：x f (x) f (x)(,2) +2 0(2 , 3)单调减少3 0(3 , + )单调增加函数在 x = 2处取得极小值62在 x = 3处取得极大值16.5的单调区间和极值.解：(1) f (x) 的定义域为(,)；(2) f(x) =3x + 3x + 18(3) 令 f (x) = 0得驻点 x1 =2, x2 =3单调减少 极小值62极大值16.5首页上页返回下页2.3.3 函数最值的求法yxOMabyf(x)mx1x2x3x4x5问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？ 观察极值与最值的关系：首页上页返回下页xOyyf(x ) abxOyyf(x ) ab如果函数 f (x)在a, b上单调增加(减少)，则 f (a)是 f(x)在a, b上的最小值(最大值)，f (b)是 f (x)在a, b上的最大值(最小值)。函数的最值一般分为两种情况：（1）首页上页返回下页xOyf(x0) yf(x ) ax0bxOyf(x0) yf(x ) ax0b如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一 个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大 ( 小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值。函数的最值一般分为两种情况：（2）首页上页返回下页求函数在区间内的最值的步骤(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和驻点处的函数值；(2) 求出区间端点处的函数值；(3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。首页上页返回下页求函数 y = x + 3 x9x在上4 , 4 的最大值和最小值。解 (1) 由 f (x)=3x +6x9,(2) 区间端点4 , 4 处的函数值为f (4) =20 , f (4) =76(3) 比较以上各函数值，例得驻点为 x1=3，x2=1 驻点处的函数值为f (3)=27, f (1)=4可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (3)=27 首页上页返回下页求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。答 案最大值 f (/2)=/2，最小值 f (/2)= /2最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (5)= 5+ 最大值 f (1)=29，最小值 f (3)= 61练 习首页上页返回下页2.3.4 函数最值应用举例在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间( a , b )内只有一个驻点 x0 ，而且从实际问题本身又可以知道函数在 ( a , b ) 内必有最大值或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最小值.首页上页返回下页把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？题 例484848-2x 解 设截去的小正方形的边长为x cm xx方盒容积为V cm首页上页返回下页把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？题 例方盒容积为V cm则 V = x(482x) , ( 0 x 24 )482xx解 设截去的小正方形的边长为x cm 首页上页返回下页把一个边长为48cm的正方形铁皮的四角各截去面积相等的正方形，然后将四边折起，做成方盒。问在四角截去多大的正方形，才能使所作的方盒容积最大？题 例解 设截去的小正方形的边长为x cm , 方盒容积为V cm 则 V = x(482x) , ( 0 x 24 ) 求导数得 V =(482x)+2x(482x)(2) 令V = 0 , 求得函数的唯一驻点为 x = 8 于是 , 当 x= 8 时函数 V 取得最大值 即当截去的小正方形边长为8 cm时方盒容积最大首页上页返回下页要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？答 案hr练 习设桶底面半径为r,