第三章 ARMA模型的特性nARMA模型，一方面，它基于观测时间序列 建立 起来的随机微分方程，因而它解释了动态数据的统计 特性；另一方面，由于 可视为某一系统的输出， 因而，它又揭示了产生此动态数据的系统的动态特性 。n同时，不论是数据的统计特性，还是系统的动态特 性，均可在时域和频域中得到描述，所有这些特性， 构成了ARMA模型的基本特性。n本章重点讨论ARMA模型的最主要的时域特性 系统的单位脉冲响应函数 和动态数据的自协方差 函数 。前者表征系统特性，在时序方法中又称为 Green函数，后者表征数据的统计特性。n同时，还将介绍ARMA模型的另外两个时域特性 逆函数和偏自相关函数。n讨论模型特性的目的在于，一方面，它 是实际应用的理论基础，很多实际问题的 解决往往就是模型特性直接应用的结果； 另一方面，它又是建立模型的必要准备。线性常系数差分方程及其解的一般形式n在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非 常重要，也是极为有效的工具。n任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程； 因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程根 的性质。n为了更好地讨论ARMA模型的特性，先简单介 绍线性差分方程的一般知识。时间序列模型与线性差分方程n线性差分方程在时间序列分析中有着重要的应用，常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义。n是普通的n阶差分方程，其中 为系统参数 的函数，当 为常数时，就是常系数n阶差分 方程， 是个离散序列，也叫驱动函数； 是系统 的响应。当 时，上式变为n称为n阶齐次差分方程。线性差分方程 n线性差分方程n齐次线性差分方程n设AR(1)模型的Green函数n1、AR(1)模型的Green函数n首先，将最简单的AR(1)模型作为一个例子。n AR(1)模型：n反复进行迭代n 即： Green函数的定义n当一个相关的平稳时间序列可以用一个无关的平稳 时间序列的现在值和过去值的线性组合表示时，其“ 权”定义为Green函数，即式中， 称为Green函数， ，（1）式可以记为其中 式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“ ”的作用而生成， 是j个单位时间以前加入系统的干扰项 对现实响应的权，亦 即系统对 的“记忆”。 格林函数的意义格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。nGreen函数刻画了系统动态响应衰减的快慢程 度。nGreen函数所描述的动态性完全取决于系统参 数 。则AR(1)模型的格林函数可以表示为：AR(1)模型可表示为同时，可用一个无限阶MA来逼近。 例：下面是参数分别为0.9、0.1的AR（1）系统 对扰动的记忆情况。（P46）AR(1)系统的平稳性n系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系一阶系统的稳定性nGreen函数的另一个重要作用是， 可表明系统 的稳定性这一重要的动态特性。所谓一个系统是不 稳定的，是指它在任意瞬间受到一个一瞬即逝的干 扰(即脉冲)后，其运动状态偏离平衡位置越来越远 ，这相当于 ， 是发散的；反之，如果其 运动状态最终能回到平衡位置上，这相当于 ，则称系统是渐进稳定的；n线性系统的稳定性仅由系统本身的固有特性所 决定，而与外界无关，即，ARMA模型所描述的 线性系统，其稳定性只与AR部分有关，而与MA 部分无关，因此，AR(1)，ARMA(1,1)， ARMA(1,m)系统的稳定性问题实质上是一致的， 从而可根据Green函数的取值情况判断它们所对 应的不同的一阶系统的稳定性。n 2、 AR(1)系统的平稳性条件平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减 弱，直到消失，对于一个AR（1）系统，将其写成格 林函数的表示形式:如果系统是平稳的，则预示随着j，扰动的权 数 对于AR(1)系统即这要求上述条件等价于AR(1)系统的特征方程的根在单位圆内(或方程的根在单位圆外 ).AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为： 的根在单位圆外（或 的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：AR(1)的结论可以推广到AR(n)ARMA(2,1)模型的Green函数n AR(2)和ARMA(1,1)模型的Green函数nAR(2)和ARMA(1,1)模型是ARMA(2,1)模型的特殊 形式；n描述动态性的Green函数也有上述关系；ARMA(1,1)模型的Green函数n ARMA(2,1)系统的平稳性n1、用特征根表示的平稳性条件n这个推论在AR(1)中平稳性的条件，同样对ARMA(2,1) 模型也依然适应；此时，nARMA(2,1)系统的平稳性条件为：n即，特征方程的特征根的模在单位圆内ARMA(n,n-1)系统的平稳性2、用自回归系数表示的平稳性条件AR(n)模型的Green函数nAR(n)模型Green函数的递推公式为：AR（n）模型，即其中：的平稳性条件为： 的根在单位圆外（或 的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：第二节 逆函数和可逆性 （Invertibility）是零均值平稳序列，如果白噪声序列能够表示为一、逆函数的定义设则称上式为平稳序列 式中的加权系数称为逆函数。 的”逆转形式“。n1、逆函数类似Green函数，逆函数定义为：当一个无关的平稳时间序列 可以用一个相关的平稳时间序列 的现在值和过去值的线性组合来表示时，其负“权”定义为逆函数.可逆的定义n可逆定义n若一个模型能够表示成为收敛的AR模 型形式，那么该模型具有可逆性，也就是 可逆的。n可逆概念的重要性n一个自相关系数列唯一对应一个可逆 MA模型。AR(1)模型的逆函数逆函数Green函数MA(1)模型的逆函数逆函数Green函数格林函数与逆函数间关系n格林函数与逆函数间的这种对偶性不只是 一阶模型所有，对于任意阶模型都成立。n例如：ARMA(2,1)与ARMA(1,2)MA(m)模型逆函数的递推公式n如果一个MA(m)模型满足可逆性条件，它就可 以写成如下两种等价形式：MA(m)模型逆函数的递推公式MA模型的可逆条件nMA(m)模型的可逆条件是：nMA(m)模型的特征根都在单位圆 内ARMA(1,2)模型的可逆性条件例3.6续:考察如下MA模型的可逆性(1)(2)n n n逆函数n逆转形式(3)(4)n n n逆函数n逆转形式ARMA模型一、ARMA(n,m)模型可分别表示为：其中：平稳条件与可逆条件nARMA(n,m)模型的平稳条件nn阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外n即ARMA(n,m)模型的平稳性完全由其自回归部分 的平稳性决定nARMA(n,m)模型的可逆条件nm阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆 外n即ARMA(n,m)模型的可逆性完全由其移动平滑部 分的可逆性决定 理论自协方差函数和自相关函数 对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数第三节 自相关函数与偏自相关函数自相关函数 样本自相关函数的计算在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限 样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自 协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式：一、自相关函数则相应的样本自相关函数为：1、AR(n)过程自相关函数ACF1阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+ at 的k阶滞后自协方差函数为：011)(gjjgajgk kttktkXXE=+=-k=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数为 k=1,2,若AR(1) 稳定，则| 1时，k=0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自 相关函数是截尾的。 其自协方差系数为 一般地，m阶移动平均过程MA(m) 相应的自相关函数为 n 可见，当km时， Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因 此，当km时， k=0是MA(m)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来 判断MA(m)模型的阶。二、偏自相关函数 自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性， 但总体 相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关 系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性 可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:n即自相关函数中包含了这种所有的“间接” 相关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数 (partial autocorrelation，简记为PACF)则是 消除了中间变量Xt-1，Xt-k+1 带来的间接 相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1 ，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度 量。 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at ，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关函数 为零，记为 在AR(1)中，0),(2* 2=-ttXCorrar对于AR(1) 过程，当k = 1时, 1 0，当k 1时, k* =0，所以AR(1) 过程的偏自相关函数特征是在k = 1出现 峰值（ 1 = 1*）然后截尾。AR(n)模型自相关函数： 平滑地指数衰减 偏自相关函数： k=1时有正峰值然后截尾 AR(1)模型相关函数与偏自相关函数对比同样地，在AR(n)过程中，对所有的kn，Xt与Xt-k间的 偏自相关函数为零。 AR(n)的一个主要特征是:kn时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在n以后是截尾的。 一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在n以后截尾，即kn时， k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是 自回归AR(n)序列。对于一个k阶AR模型，有：由此得到Yule-Walker 方程，记为：已知时，由该方程组可以解出利用克莱姆法则，对k=1，2，3， 依次求解得上述序列为AR模型的偏自相关函数。偏自相关性是条件相关，是在给定 的条件下， 和 的条件相关。换名话说，偏自相关 函数是对 和 所解释的相关的度量。 之间未被易得，在AR(k)模型中，第k个偏自相关系数就是AR(k)模 型中Xt-k的回归系数。如果自回归过程的阶数为n，则对于kn应该有 =0。MA(m)模型n可以验证MA(m)过程的偏自相关函数是非截尾 但趋于零的。 MA(m)模型的识别规则：若随机序列的自相 关函数截尾，即自m以后，k=0（ km）；而它的 偏自相关函数是拖尾的，则此序列是移动平均 MA(m)序列。ARMA(n,m)的自相关函数，可以看作MA(m)的自 相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。当n=0时，它具有截尾性质；当m=0时，它具有拖尾性质；当n、m都不为0时，它具有拖尾性质 ARMA(n, m)过程 从识别上看，通常：ARMA(n，m)过程的偏自相关函数（PACF）可能 在n阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从n阶 滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数（ACF）则是在m阶滞后前有几 项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。