1第七章 非线性控制系统分析自动控制原理中国民航大学 航空自动化学院2第7章 非线性控制系统分析7-1 非线性控制系统概述 基本内容7-2 常见非线性环节对系统运动的影响7-3 描述函数法7-4 相平面法3基 本 要 求 1.明确非线性系统动态过程的本质特征。掌握系 统中非线性部分、线性部分结构归化的方法。2. 正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概念 。3. 了解描述函数建立的一般方法，明确几种典型 非线性特性负倒描述函数曲线的特点。4. 熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有周 期运动, 判断周期运动的稳定性。4简 介n非线性系统一般理解为非线性微分方程 所描述的系统。n线性系统的本质特征是叠加原理，因此 非线性系统也可以理解为不满足叠加原 理的系统。本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函 数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的 一些区别于线性系统的现象。5n前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性；n严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性 特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统 ；n一些系统作为线性系统来分析： 系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。某些系统的非线 性特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线 性化处理；n但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处 理时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类 非线性称为本质非线性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。7.1 非线性控制系统概述6一.实际系统中的非线性因素图7-1 一些常见的非线性特性7n除上述实际系统中部件的不可避免的非线性 因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系统中 引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器 。n通常，在自动控制系统中采用的非线性部件 ，最简单和最普遍的就是继电器。8图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性9二、本质非线性系统有以下特点： 1）初始条件与输入量对非线性系统的影 响 非线性系统可能 会出现某一初始 条件下的响应过 程为单调衰减， 而在另一初始条 件下则为衰减振 荡，如图所示。 线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程 为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下 该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。10初始条件不同时非线性系统不同的响应特性 112）系统的稳定性也与输入信号的大小、 初始条件有关 （1）当初始条件xo1时,1xo0,上式具有负 的特征根,其暂态过程按指数规律衰减,该系统稳 定。（2）当xo=1时,1-xo=0,上式的特征根为零,其暂 态过程为一常量。 （3）当xo1时,1-xo0,上式的特征根为正值, 系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。12n线性系统系统的稳定性只取决于系统结 构和参数，与输入信号及初始条件无关 。但非线性系统的稳 定性不仅与系统的 结构和参数有关， 还与输入信号及初 始条件有关。即可 能在某个初始条件 下稳定，而在另一 个初始条件下系统 可能不稳定。133）非线性系统可以产生自持振荡：在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定 的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上 可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或自 振荡；n线性系统只有两种工作模式：要么发散，要 么收敛；n非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状 态。144）当非线性输入的信号为正弦作用时， 由于非线性其输出将不再是正弦信号， 而包含有各种谐波分量，发生非线性畸 变。 线性系统中， 当输入量是正弦 信号时，输出稳 态分量也是同频 率的正弦函数， 可以引入频率特 性的概念并用它 来表示系统固有 的动态特性。15三、非线性系统分析方法：1）非线性系统的运动比线性系统复杂得多； 2）分析线性系统的分析方法不能用于分析非 线性系统； 3）非线性系统的数学模型是非线性微分方程 ；但至今为止非线性微分方程没有成熟的 解法； 4）描述函数法、相平面法和李亚谱诺夫第二 方法是分析非线性系统的三种方法。167.2 常见非线性环节对系统 运动的影响一.不灵敏区不灵敏区又叫 死区，系统中 的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。死区特性17死区非线性特性的数学表达式如下：式中18包含死区的非线性系统在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同 的影响：一方面它使降低了开环增益，控制精度降低，单相 对稳定性提高；另一方面有时人们又人为的引入死区特性， 使系统具有抗干扰能力。 19二、饱和图7-9 部件的饱和现象饱和特性也是系统中最常见的一种 非线性特性。20理想化后的饱和特性典型数学表达式为：式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数（ 对于放大元件，也称增益）。21粗略地看，饱和特性的存在相当于大信号作 用时，增益下降。图7-10 饱和特性图7-11 饱和特性的等效增益22图7-13 图7-12系统的响应随动系统的方块图如图712所示。当系统输入端加上一个幅 值较大的阶跃信号时，若 放大器无饱和限制，系统 的时间响应曲线如图7-13 中的曲线1；放大器有饱 和限制时的时间响应曲线 如图7-13中的曲线2。图7-12 非线性系 统23若随动系统的方块图如图715所示。图7-14 根轨迹图图7-15 非线性系 统根轨迹分析：24图7-16系统的时间响应当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发 散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图7-16中的 曲线2。25三、间隙(非单值特性)图717 齿轮传动中的间 隙传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统 中的一种常见的非线性因素。26间隙特性的典型形 式如图7-18所示数学表达式为图718 间隙非线性特性27n间隙对系统性能的影响也很复杂，一 般说来，它会增大系统的静差，使系 统波形失真，过渡过程的振荡加剧。图7-19 间隙特性的输入-输出波形28四、继电器特 性继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至 会导致系统不稳定，并且使稳态误差加大。297.3 描述函数法一、描述函数的基本概念当非线性元件输入一个正弦信号 输出是一个含有高次谐波的周期函数：30 非线性元件的静特性不是时间t的函数,即为非储能元件；如果满足下列条件： 系统的线性部分具有较好的低通滤波特性滤去高次谐波。 系统的输入为0，非线性元件的输入为正弦信号： 非线性元件的特性是奇对称的，即有直流分量为0；31n满足上面条件,可以用基波信号代替整 个输出的信号； 这个过程实际上是一个线性化过程，经 过线性化输出的信号与输入信号同频率，只是在幅值和相位上有差异；32 一般情况下，描述函数 为入幅值的函数，而与频率无关。当非线性特性为单值时，相应的描述函数为一实数，表示输入与输出是同相的。 被称为非线性特性的描述函数。经过线性化之后的输入输出关系33例若非线性特性为其特性曲线如图7-58，求其描述函数。34令 则有解：35例题的输入-输出特性 描述函数36二、典型非线性环节的描述函数1. 死区非线性37死区特性的描述函数为： 382. 饱和特性393. 间隙特性40三、组合非线性特性 1. 非线性特性的并联等效 412. 非线性特性的串联等效 42四、非线性系统稳定性分析非线性控制系统可化为下列结构形式 图7-64 非线性控制系统43用描述分析非线性系统时两 个基本假设：系统的线性部分G(j)具有很好的低 通滤波性。系统若发生自激振荡（稳定的周期运 动），假定非线性环节N的输入端的 振荡为正弦波。441、特征方程的解法图764所示系统的特征方程为（7-90）如果对于某一个和，式（790）成立， 那么非线性环节N输入端将有 的周期运动。此时相当于将整个曲线当作临界点。 45 因此可以类似的得到当线性系统为最小 相位系统时的非线性系统的乃氏判据。 上述情况与线性系统中 的乃氏曲 线穿越 点相类似 利用描述函数判断非线性系统稳定性 时，非线性环节的负倒特性 相 当于线性系统的 点； 如非线性部分的负倒特性 没 有被线性部分 的乃氏曲线包围， 则系统是稳定的。反之，如果非线性部 分的负倒特性 被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。 如非线性部分的负倒特性 没 有被线性部分 的乃氏曲线包围， 则系统是稳定的。反之，如果非线性部 分的负倒特性 被线性部分 的乃氏曲线包围，则系统为不稳定的。46描述函数法分析非线性系统稳定性 a) 不顺时针包围 b) 顺时针包围 c) 顺时针部分包围 47n如果 与 曲线相交，则可能产生 自持振荡。n严格地讲，自持振荡不是正弦的，但可以用正 弦来近似。n自持振荡的幅值是由交点处 曲线上的 A值决定的，而频率是由交点处 曲线上 的频率 决定的。2、非线性系统自持振荡分析48自持振荡分析49【例1】判断图中各自振荡点稳定与否? 3、实例分析50【例2】确定图中非线性系统的自振荡振幅和频率。图7-22 非线性系统结构图解：理想继电特性的描述函数为51由于 故 的轨迹为沿整个负实轴的直线 线性部分的频率特性 52根据产生自持振荡的条件得 解之得 将之代入 得 由 得 53例71 已知某位置随动系统的动态结构图如图7-22所示，其中饱和非 线性是积分环节达到限幅时形成的。试计算：系统稳定时K的取 值范围； 时在初始状态作用下系统自振的振幅和频率。 解54时， ，恰是负倒描述函数特性的起点。 时，开环幅相频率特性与负倒描述函数特性曲线不相交，非线性系统稳定； 时两曲线相交，交点为自振点，自振的频率为 ；时的实频值为 ，负倒描述函数的振幅值满足解得自振的振幅为 。 55【例3】研究如下图所示非线性系统。试判断系统 是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和频 率。 56解： 描述函数为57计算数据表-2-1.64-1.57-1.6410.90.80.6-1.81- 2.14-2.74-4.18-7.890.50.40.30.20.1 580.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.90.197 0.388 0.579 0.920 1.132 1.593 2.351 400 300 250 200 180 15012059图7-69 图7-68系统的曲线60系统稳定性分析图7-72 非线性系统的稳定性分 析61n非线性系统有不同于线性系统的特性；n描述函数是对非线性系统特性的谐波线性 化处理后的近似线性系统的频率特性；n描述函数法应用必须满足四个条件；n描述函数法只能分析系统的稳定性和自持 振荡。627.4 相平面法n相平面法 是一种求解二阶常微分方程的图解方法 。n设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 （7-17）（7-18）63相平面:描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫 相轨迹。 通常把方程（717）称为相轨迹微分方程 式，简称 相轨迹方程。 将（718）式的 积分结果称为 相轨迹表达式。相轨