1三、离散傅立叶变换（DFT) 有限长序列的离散频谱表示三、离散傅立叶变换（DFT)2从有限长序列的DTFT到DFT从DFS到DFTDFT的性质3三、离散傅立叶变换（DFT)预备知识 （1 1）余数运算）余数运算如果n=n1+mN，0n1N-1，m为整数。则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为n1（n1）是 (n)N 的解，或称作取余数，或称作n对N 取模值45 先取模值，后进行函数运算 视作将 周期延拓2.n0周期延拓n0左移2n0N-1n0取主值N-11、从有限长序列的DTFT到DFT6n非周期信号的频谱是频率的连续函数，无法用计 算机计算n离散信号的DTFT，是的连续周期函数，尽管 在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困难 。为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅里 叶变换对，实现计算机的快速计算，即DFT能量有限、时间长度为L的有限长序列的DTFT为7频率采样点数N已知，2/N为定数频率离散化2、从DFS到DFT8非周期序列的DTFT是信号的频谱密度，将1/N 移到 x(n) 中，不会改变信号的性质和物理含义DFS :2、从DFS到DFT9设 , 令 nx(n)、X(k)分别称作 、 的主值DFTIDFTRN(n)为 矩形序 列 DFT小结10DFT 是 DFS 的主值序列 DFS 是严格按傅立叶分析的概念得来的 DFT 只是一种借用形式，一种算法 用DFT 计算信号的频谱时采样频率必须大于两倍的信号最高截止 频率 对周期信号要截取整周期3、DFT的性质11线性圆周移位圆周卷积(1) 线性12若那么(2)圆周移位13序列x(n)的圆周位移定义 n0是位移值，RN(n)是矩形序列 x(n)x(n)周期延拓、移位、取主值周期延拓、移位、取主值圆周位移的概念有限长序列周期延拓线性位移加窗，得到圆周位移 序列时移特性15若则频移特性若则时域圆周卷积定理16若则nN点圆周卷积的定义例6 计算x1(n)、x2(n)的N点圆周卷积，其中17解： x1(n)、x2(n)的N点DFT为n有nx1(n)、x2(n) 的N点圆周卷积是X(k)的反DFT变换频域圆周卷积定理18若则四、快速傅立叶变换（FFT）19DFT的计算量DFT的特点及FFT的思想基-2算法的FFT的基本思路FFT算法的特点1 1、DFTDFT的计算量的计算量DFTN点DFT的计算量：每计算一个X(k)值需要进行N次复数相乘，N-1次复 数相加 对于N个X(k)点，完成全部DFT运算共需N2次复数 相乘和N(N-1)次复数加法20特性n正交性n周期性n对称性n可约性2 2、DFTDFT的特点及的特点及FFTFFT的思想的思想2 2、DFTDFT的特点及的特点及FFTFFT的思想的思想22由于DFT计算量与N成几何级数增长，可将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT，最后将它们组合，得到原序列的DFT利用以上DFT运算的特点，即可得到序列的FFT算法3 3、基基-2-2算法的算法的FFTFFT的基本思路的基本思路23序列的长度是2的整数幂时, 将x(n)分解（抽取）成较短的序列，然后从这些序列的DFT中求得X(k)的方法(1)(1)按时间抽取的按时间抽取的FFTFFT算法算法 24以 为例的DFT2526第二行和第 三行互换 第二列和第 三列互换 x(1)和x(2) 互换 矩阵等式不变只和 有关只和 有关N点的DFT是否可以分成两组 N/2点的DFT?27设序列x(n)的长度为N=2r，x(n)被分解（抽取）成 两个子序列，每个长度为N/2.n第一个序列g(n)由x(n)的偶数项组成：n第二个序列h(n)由x(n)的奇数项组成 28x(n)的N点的DFT表示为：N/2点的DFTN/2点的DFT29另外主值周期N/2点的X(k)主值周期为N/2 的X（k）N=4为例DFT分组30N/2 点的DFT(n 为偶 数）N/2 点的DFT(n 为奇 数）N点的DFT4、FFT算法的特点31基本运算单元为一个蝶形，第m级的蝶形 上节点下节点每一蝶形是独立的每一级中有N/2个蝶形 8点按时间抽取FFT第一阶段的运算框图 32按时间抽取FFT将4点DFT分解为两个2点DFT 33一个完整的一个完整的8 8点基点基2 2按时间抽取按时间抽取FFT FFT 34FFT应用中的注意事项35信号离散时，采样频率要满足奈奎斯特频率N一定是2的整数次幂，若不是，要补若干个零，凑成2的整数次幂数据长度要取得足够长：数据的实际长度：频率分辨率，DFT中谱线间的最小间隔，等于信号基波频率f0FFTFFT的应用的应用36 利用利用FFTFFT求线性卷积求线性卷积 利用利用FFTFFT求线性相关求线性相关 利用利用FFTFFT作连续时间信号的频谱分析作连续时间信号的频谱分析 时间有限信号时间有限信号 频率有限信号频率有限信号 连续周期信号连续周期信号 时限连续信号时限连续信号 37 一般时限信号具有无限带宽，根据时域采样定理，无论怎一般时限信号具有无限带宽，根据时域采样定理，无论怎样减小采样间隔样减小采样间隔TsTs，都不可避免产生频谱混叠。且过度减，都不可避免产生频谱混叠。且过度减小采样间隔，会极大地增加小采样间隔，会极大地增加DFTDFT计算工作量和计算机存储计算工作量和计算机存储单元，实际应用中不可取单元，实际应用中不可取 解决方法：解决方法： 利用利用抗混叠滤波器抗混叠滤波器去除连续信号中次要的高频成分，再去除连续信号中次要的高频成分，再进行采样进行采样 选取合适的选取合适的TsTs ，使混叠产生的误差限制在允许范围之内，使混叠产生的误差限制在允许范围之内 频率有限信号频率有限信号38 带限信号的采样频率选取比较容易，但一般带限信号时宽无限带限信号的采样频率选取比较容易，但一般带限信号时宽无限，不符合，不符合DFTDFT在时域对信号的要求，要进行在时域对信号的要求，要进行加窗截断加窗截断 离散周期信号当长度截断不当时会产生离散周期信号当长度截断不当时会产生频谱泄漏频谱泄漏现象现象 处理方法：处理方法： 加大窗宽加大窗宽，减少谱峰下降和频带扩展的影响，但是信号时宽加大，经采样，减少谱峰下降和频带扩展的影响，但是信号时宽加大，经采样后增大序列长度，增加后增大序列长度，增加DFTDFT的计算量及计算机存储单元的计算量及计算机存储单元 选取形状合适的窗函数选取形状合适的窗函数。矩形窗在时域的突变导致了频域中高频成分衰减。矩形窗在时域的突变导致了频域中高频成分衰减慢，造成的频谱泄漏最严重，而三角形窗、升余弦窗（慢，造成的频谱泄漏最严重，而三角形窗、升余弦窗（HaningHaning窗）、改进窗）、改进的升余弦窗（的升余弦窗（HammingHamming窗）等在频域有较低的旁瓣，使频谱泄漏现象减弱窗）等在频域有较低的旁瓣，使频谱泄漏现象减弱连续周期信号连续周期信号 39 连续周期信号是非时限信号，作连续周期信号是非时限信号，作DFTDFT处理时也要加窗处理时也要加窗截断截断 当截断长度正好是信号周期时，不会产生频谱泄漏，当截断长度正好是信号周期时，不会产生频谱泄漏，但当截断长度不是信号周期时，会产生频谱泄漏但当截断长度不是信号周期时，会产生频谱泄漏 处理方法：处理方法：合理地选取截断长度合理地选取截断长度（整周期截断）（整周期截断）例1 利用DFT/FFT求图示三角脉冲的频 谱，假设信号最高频率取 ， 要求谱率分辨率f0100Hz4041解：由fm得出对最大采样间隔Ts的要求由频率分辨率决定数据记录长度采样点数取N51229，便于基2-FFT运算，由于N修正了， Ts也应修正为42x(t)采样后经过周期延拓，然后取主值区间所得 x(n) (n:0-511)。经FFT运算后得到如下图所示的频 谱，它是对X(kf0)的幅值乘上Ts因子，然后画出的 包络线 课后作业43 作业：P187习题17课后预习：Z变换实验：DFT和FFT (MATLAB)