4.克拉默法则一.非齐次线性方程组的克拉默法则(1)设非齐次线性方程组(3)则线性方程组(1)有唯一解若(1)的系数行列式(2)即证明：等式成立证明： 先证 是（1）的解，要证 是（1）的解，只须证明（3）满足（1）即可，为此把（1）改写成：做n+1阶行列式显然 . 把 按第一行展开.需要求出第一行每个元素的代数余子式.第一行元素 的代数余子式为:所以即再证唯一性.假设 也是(1)的解.在(2)两端同时乘以由于 , 所以故线性方程组(1)有唯一解(3).例1.解方程组解:定理2.如果线性方程组（1）的系数行列式D不等于0,则(1)有唯一的解.于是得原方程组的解为定理3. 如果线性方程组(1)无解或有多个解，则它 的系数行列式必为0.二.齐次线性方程组的克拉默法则设齐次线性方程组(4)若(4)的系数行列式(5)则(4)没有非零解. 定理 .如果齐次线性方程组(4)有非零解,则它的系数行列式必为0。定理3.如果齐次线性方程组(4)的系数行列式D不等于0,则齐次线性方程组(4)没有非零解.例2. 问 在什么条件下,方程组有非零解？解：由定理 知，若方程组有非零解，则其系数行列式必为零。所以，当 或 时，上面方程组有非 零解。例3 设非齐次线性方程组问 为何值时，该方程组有唯一解，并求其解。解：方程组的系数行列式为（ +2）显然当 2， 1时，方程组有唯一解。D=行列式主要知识点网络图概 念排 列行 列 式逆序，奇排列，偶排列一般项是不同行不同列元素乘积的代数和.互换行列式的两行(列)，行列式变号。某行有公因子可以提到行列式的外面。若行列式中某一行(列)的所有元素均为两元素之和，则该行列式可拆成两个行列式.某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。行 列 式 知 识 点性 质展 开计 算行展开列展开定义法递推法加边法数学归纳法公式法拆项法乘积法析因子法齐次线性方程组有非零解的充要条件克拉默法则应 用作业 35页 8、9、10。