6.3 微积分学基本定理由6.1知定积分是一个复杂和式的极限,但要想通过求积分和的极限来得到定积分的值, 却非常困难; 下面寻求一种计算定积分的非常简便的新方法 牛顿莱布尼兹(Netwon-Laibniz)公式计算法.一. 积分上限函数设(x)在a ,b上连续,区间a, x上方的曲边梯形的面积为(x)在区间a, x上的定积分1为了区别积分变量与积分上限, 特将积分变量记为t, 这是一个关于积分上限x的函数, 并记为(x),即注1 定理5 若(x)在a, b上连续, 则在a, b上可导, 且证 设x、x+x a, b, 则有(x)=(x + x)(x)由积分中值定理得(x)=() x(在x与x + x之间),当 x 0时, 必有 x , 从而2而注2 对于变上限的复合函数有以下两个推论推论1 若(x)在a, b上连续, (x)在a, b上可导, 则(被积函数代积分上限且积分上限对x求导)3推论2 若(x)在a, b上连续, 例7 计算下列各题证在a, b上可导, 则45例8 设(t)是正值连续 函数 , 曲线在a, a上是上凹的.x a, a(a0).证曲线y =(x)在 a, a上是上凹的.6定理6 (原函数存在定理)注3 由定理5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数.若(x)在a, b上连续, 则 的一个原函数.是(x)在a, b上注4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性, 又揭示了定积分与原函数的关系,下面利用此定理来推导通过原函数来计算定积分的公式.7二. 牛顿莱布尼兹公式定理7 (微积分学基本定理) 若(x)在a, b上连续, 而F(x)是(x)在a, b上的一个原函数, 则C =(a)F ( a)= F(a),证 因F(x)与均为(x)的原函数, 所以有于是 (x)= F(x)F ( a) 令x=b, 则上式有(b) = F(b)F(a), 故(x) = F(x) + C8注5 上式就是牛顿莱布尼兹公式.由牛顿莱布尼兹公式知: 要求(x)在a, b上的定积分只须先求出(x)在a, b上的一个原函数F(x),再计算F(x)在a , b上的改变量F(b) F(a)即可.注6 牛顿莱布尼兹公式当然也可它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法, 而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系.这样记.9例9 计算下列定积分此定积分的被积函数含参数t并带绝对值. 而 t 的 取值又无限制,它既可在0, 3之内, 也可在0, 3之外, 故应分以下三种情况讨论:1011此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分. 当x2=0时, 得 x = 2.因此时的区间a, b位置没定, 故它可能在被积函数的零点的两侧, 也可能在零点之间, 亦可能包含零点.1213例10 设解 令两边从0到1积分, 得则求(x).14