5-2 标准形只含有平方项的二次型称二次型的标准形.说明1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.一、用拉格朗日配方法化简二次形一、用拉格朗日配方法化简二次形解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为Th.1 数域P上的任意一个二次型 都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式称为标准形.证明:对变量的个数n用数学归纳法.当n=1时,二次型就是 已是标准 形.现假设对n-1元的二次型,定理的结论成立.设 n元二次型为分三种情况讨论:由归纳法假设对 有非退化 的线性变换二次型的标准形矩阵是对角矩阵,即有反过来,矩阵为对角形的二次型只含有平方项(标 准二次形),经过非退化的线性变换,二次形矩阵变 成与它合同的矩阵,因此,用矩阵的观点,重述定理 1,便得到Th.2 在数域P上任意一个对称矩阵都合同 于一对角矩阵.即如果A是对称矩阵,则必存在可逆矩阵C,使得 为对角矩阵.Ex.1 化下列二次型为标准形.解:1)解:2)为对角矩阵Ex.2用矩阵合同变换化Ex.1(2)的二次型化为标准形.二、合同矩阵方法化二次型为标准形二、合同矩阵方法化二次型为标准形用初等变换求对称矩阵A的矩阵C:使 对角矩阵例3小结将一个二次型化为标准形，还可以用正 交变换法等，具体用什么方法，这取决于问 题的要求如果只需要找出一个可逆的线性 变换，那么各种方法都可以使用需要注意 的是，使用不同的方法，所得到的标准形可 能不相同，但标准形中含有的项数必定相同 ，项数等于所给二次型的秩思考题作业：P237 -1、P238 2、3、4、5思考题解答作业：P2371（1）、（2）、（3）、（4）