第六章附有参数的条件平差6-1 附有参数的条件平差原理6-2 精度评定第六章 附有参数的条件平差第六章附有参数的条件平差问题的提出由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（nt）的 条件平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r 个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而 ，在实际工作中，有些平差问题的r个独立的条件方程很难 列出。例如，在下图所示的测角网中，A、B为已知点，AC 为已知边。观测了网中的9个角度，即n=9。要确定C、D、E 三点的坐标，其必要观测数为t=5，故条件方程的个数为r=n- t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。由图知，三个图 形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。第六章附有参数的条件平差为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观 测量作为参数。例如图中选择 作为参数。设选择了u个参 数，则原来的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由 于选择了 作为参数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图形条件外，还可以列出1个极条件和 1个固定边条件。如下图，若以A点为极，则极条件为： 第六章附有参数的条件平差固定边条件为（由AC推算AB）：或 根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差， 称为附有参数的条件平差。 第六章附有参数的条件平差6-1 附有参数的条件平差原理一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：（1）式中V为观测值L的改正数， 为参数近似值 的改正数。其 系数矩阵的秩分别为 。其随机模型 为：（1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的 改正数 ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为c = r + u。由于m c = n r = t 0，所以（1）式是一组具 有无穷多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出 能使的一组解。为此，下面就来求解这组解。 第六章附有参数的条件平差1、 基础方程及其解为了求得解能使 的一组解，按求函数 之条件极值的方法，组成新函数：式中K是对应（6-1）式的联系数向量。为了求函数 的极小值，将其分别对V和 求一 阶导数，并令其为零，即第六章附有参数的条件平差亦即 （2）将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条 件平差的基础方程：（3）将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V ，得： 第六章附有参数的条件平差令则 (4) （4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为，且 ，所以 是满秩的对称方阵，其逆存在。于是， 用左乘（4）式的第一式，可得： (5)再以（5）式带入（4）式的第二式，得： 第六章附有参数的条件平差令 (6)则有（7） 因为 ,且 ，故 是满秩的对称方阵，其逆存在。于是，由（7）式 得：（8） 将（5）式代入（2）式的第一式，得：（9） （8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终 解。 第六章附有参数的条件平差2、附有参数的条件平差的计算步骤由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如 下：（1）、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附 有参数的条件方程（1）式。（2）、组成法方程（4）式。（3）、按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数 和观 测值L的改正数V。（4）、按计算观测值和参数的平差值。（5）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正 确性。教材：61，62习题：6.1.05， 6.1.09第六章附有参数的条件平差3、 举例 某三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知边。 其已知数据为：各角的同精度独立观测值见表1。现选 的 最或是值为参数，试按附有参数的条件平差求观 测值的平差值和参数的平差值。 第六章附有参数的条件平差表1角号观测值角号观测值142536第六章附有参数的条件平差本例中n = 6，t = 3，r = 3，u = 1，故c = r + u = 4 由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边 条件。这4个条件如下：第六章附有参数的条件平差取 ，将非线性条件线性化后，得条件方程为：由于为同精度独立观测，故 。于是由（4）式得法方程为 ：第六章附有参数的条件平差解得： 由此可得观测值和参数的平差值为：检核略。 第六章附有参数的条件平差6-2 精度评定1、单位权方差的估值在附有参数的条件平差中，单位权方差的估 值仍为：（10）第六章附有参数的条件平差2、基本向量的协因数矩阵第六章附有参数的条件平差3、平差值函数的中误差设平差值函数为： 对其全微分，得权函数式为：式中：应用协因数传播律，得：于是，平差值函数的中误差为： 习题：6.3.17第六章附有参数的条件平差小结： 1、为了某种需要，选择参数； 2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择u个 参数，就增加u个条件方程； 3、条件方程的总数为c = r + u; 4、单位权中误差的计算公式不变； 5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别 对观测值的平差值和参数求偏导数。第六章附有参数的条件平差举例： 水准网如图所示： 1、按条件平差列出条件方程。 2、选 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 3、选 和 高程平差值为参数，列出全部条件方 程。第六章附有参数的条件平差解： 1、由图知，n = 5，t = 2，故r = n-t = 5-2 =3 。即三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条 件：2、选 高程平差值为参数 ，则有u =1，c = r+u =4,即：第六章附有参数的条件平差3、选 和 高程平差值为参数 和 ，则u =2 ，c=r+u=3+2=5=n，此时有：由上式（4）、（5）式可得：第六章附有参数的条件平差将（6）式代入（1）式，得：将（6）、（7）式代入（2）式，得：将（8）、（9）式代入（3）式，得：令： 第六章附有参数的条件平差则有， 令则有: 上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参数之间 相互独立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。 这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的 关系，我们称这种关系为误差方程。以误差方程为基础可得 到一种新的平差方法间接平差。下面就来学习这种新的 平差方法。