第第 1 章章 直角三角形直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定（）（第 1 课时）教学目标：1、 掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。2、 掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。3、 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?二、新授（一）直角三角形性质定理 1请学生看图形：1、提问：A 与B 有何关系？为什么？2、归纳小结：定理 1：直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。3、巩固练习： 练习 1（1）在直角三角形中，有一个锐角为 520，那么另一个锐角度数 （2）在 RtABC 中，C=900，A -B =300，那么A= ，B= 。练习 2 在ABC 中，ACB=900，CD 是斜边 AB 上的高，那么， （1）与B 互余的角有 （2）与A 相等的角有 。 （3）与B 相等的角有 。（二）直角三角形的判定定理 11、提问：“ 在ABC 中，A +B =900那么ABC 是直角三角形吗？”2、利用三角形内角和定理进行推理3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习 3:若 A= 600 ，B =300，那么ABC 是 三角形。（三）直角三角形性质定理 21、实验操作： 要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片（l）量一量斜边 AB 的长度（2）找到斜边的中点，用字母 D 表示 （3）画出斜边上的中线（4）量一量斜边上的中线的长度让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三、巩固训练：练习 4： 在ABC 中， ACB=90 ，CE 是 AB 边上的中线，那么与 CE 相等的线段有_，与A 相等的角有_，若A=35，那么ECB= _。练习 5： 已知：ABC=ADC=90O，E 是 AC 中点。求证：（1）ED=EB (2)EBD=EDB （3）图中有哪些等腰三角形？练习 6 已知：在ABC 中，BD、CE 分别是边 AC、AB 上的高， M 是 BC 的中点。如果连接 DE,取 DE 的中点 O,那么 MO 与 DE 有什么样的关系存在? 四、小结：这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？五、课后反思：1.1 直角三角形的性质和判定（）（第 2 课时）一、教学目标：1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。3、通过图形的变换，引导学生发现并新问题，进行类比联想，促进学生的思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。4、从生活的实际问题出发，引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题和解决问题能力。二、教学重点与难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。三、教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.四、教学过程：（一） 引入：如果你是设计师：（问题）2008 年将建造一个地铁站，设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点 45 路、13 路、23 路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里？（通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习兴趣。 ）动一动 想一想 猜一猜 （实验操作）请同学们分小组在模型上找出那个点，并说出它的位置。请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？（通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。 ）（二） 新授：命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推理证明思路： 作点 D1 证明所作点 D1 具有的性质 证明点 D1 与点D 重合E ED DC CB BA A应用定理：例 1、已知：如图，在ABC 中，B=C，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别 AB、AC 的中点。求证：DE=DF 分析：可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线，再证两斜边相等即可证得。（上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合，现在我们将图形变化使斜边重合，我们可以得到哪些结论？）练习变式：1、 已知：在ABC 中，BD、CE 分别是边 AC、AB 上的高，F 是 BC 的中点。求证：FD=FE练习引申：（1）若连接 DE，能得出什么结论？（2）若 O 是 DE 的中点，则 MO 与 DE 存在什么结论吗？上题两个直角三角形共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边，两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论？ 2、已知：ABC=ADC=90，E 是 AC 中点。你能得到什么结论？例 2、求证：一个三角形一边上的中线等于这一边一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形的一半，那么这个三角形是直角三角形。P4练习 P4 2(三） 、小结：通过今天的学习有哪些收获？(四） 、作业：P7 习题 A 组 1、2(五） 、课后反思：1.1 直角三角形的性质和判定（）（第 3 课时）F FE ED DC CB BA AO OF FE ED DC CB BA A教学目标教学目标1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于 30 度，那么它所对的直角边等于斜边的一半” ；2、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30 度” ； 3、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。重点、难点重点、难点重点：直角三角形的性质，难点：直角三角形性质的应用教学过程教学过程一、一、 创设情境，导入新课创设情境，导入新课1 直角三角形有哪些性质？(1)两锐角互余；（2）斜边上的中线等于斜边的一半2 按要求画图：（1）画MON，使MON=30，(2)在 OM 上任意取点 P，过 P 作 ON 的垂线 PK，垂足为 K，量一量 PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系？(3) 在 OM 上再取点 Q,R，分别过Q,R 作 ON 的垂线QD,RE,垂足分别为 D,E，量一量 QD，OQ，它们有什么关系？量一量 RE,OR，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.二、二、 合作交流，探究新知合作交流，探究新知1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。如图，RrABC 中，A=30，BC 为什么会等于AB1 2分析：要判断 BC= AB,可以考虑取 AB 的中点，如果1 2如果 BD=BC，那么 BC=AB，由于A=30,所以1 2B=60,DCBAKPOMDCBA如果 BD=BC,则BDC 一定是等边三角形，所以考虑判断BDC 是等边三角形，你会判断吗？由学生完成归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于 3030，那么它所对的直角边等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。斜边的一半。这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？先让学生交流，得出把ABC 沿着 AC 翻折，利用等边三角形的性质证明。2 上面定理的逆定理上面问题中，把条件“A=30”与结论“BC=AB”交换，结论还成立吗？1 2学生交流方法（1）取 AB 的中点，连接 CD，判断BCD 是等边三角形，得出B=60,从而A=30（2）沿着 AC 翻折，利用等边三角形性质得出。（3）你能把上面问题用文字语言表达吗？归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所归纳：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于对的角等于 3030 度。度。三、三、 应用迁移，巩固提高应用迁移，巩固提高1、定理应用例 1、 在ABC 中，C=90，B=15，DE 垂直平分 AB，垂足为点 E，交 BC 边于点 D,BD=16cm，则 AC 的长为_例 2、 如图在ABC 中，若BAC=120，AB=AC,ADAC 于点 A，BD=3，则 BC=_.2 实际应用例 3、 （P5） 在 A 岛周围 20 海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，发EDCABDCAB现 A 岛在北偏东 60的方向，且与轮船相距 30海里，该轮船如果不改变航向，3有触礁的危险吗？四、四、 课堂练习课堂练习 ，巩固提高，巩固提高P 6 练习 1、2 五、五、 反思小结，拓展提高反思小结，拓展提高直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？1.2 直角三角形的性质和判定（）（第 4 课时）勾股定理教学目标： （1）掌握勾股定理；（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图（3）了解有关勾股定理的历史.（4）在定理的证明中培养学生的拼图能力；（5）通过问题的解决，提高学生的运算能力（6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；（7）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育教学重点：勾股定理及其应用 教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：1、新课背景知识复习（1）三角形的三边关系（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊东东B DAO关系吗？2、定理的获得 让学生用文字语言将上述问题表述出来勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方 强调说明：（1）勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边（2）学生根据上述学习，自己的问题（待定）3、定理的证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形,方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明4、定理的应用练习 P11 例题 1、 已知：如图，在ABC 中，ACB900 ，AB5cm，BC3cm，CDAB 于 D，求 CD 的长.解：ABC 是直角三角形，AB5，BC3，由勾股定理有 又 2CCD 的长是 2.4cm例题 2、如图，ABC 中，ABAC，BAC900 ，D 是 BC 上任一点， 求证：BD2+CD2=2AD2 证法一：过点 A 作 AEBC 于 E则在 RtADE 中，DE2+AE2=AD2 又ABAC，BAC900 BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2=BE2+CE2+2DE2=2AE2+2DE2=2AD2即 BD2+CD2=2AD2证法二：过点 D 作 DEAB 于 E， DFAC 于 F则 DEAC，DFAB又ABAC，BAC900 EBED，FDFCAE 在 RtEBD 和 RtFDC 中 BD2=BE2+DE2 ,CD2=