5.5 阿贝尔群和循环群一. 阿贝尔群定义 如果群中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。例 设是有限的可交换独异点，且对任意的a,b,cS，等式a*b=a*c 蕴含着 b = c，证明是阿贝尔群。分析 只要证明S中的每个元素都存在逆元，那么就是阿贝尔群。设任意的bS 存在正整数i，j，使得bi = bj （ i是一个群，是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明 1）充分性设对任意的a,bG，有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为 a*(a*b)*b= (a*a)*(b*b)= (a*b)*(a*b)= a*(b*a)*b所以 a-1 *(a *(a * b) * b) * b-1= a-1 *(a *(b * a) * b) * b-1即 (a-1 *a) *(a * b) * (b * b-1)= (a-1 *a) *(b * a) * (b * b-1)即得a * b = b * a，因此是阿贝尔群。2 ） 必 要 性设是阿贝尔群，则对任意的a,bG，有a*b=b*a因此 (a*a)*(b*b)= a*(a*b)*b= a*(b*a)*b= (a*b)*(a*b)二.循环群定义 设是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群的生成元。循环群的生成 元可以不唯一 *a*a=ba*a*a=eb*b=ab*b*b=e定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明 设是一个循环群，生成元为a，那么对于任意的x,yG，必有r,sI，使得x=ar 和 y=as且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此是一个阿贝尔群。定 理 3设是一个由元素aG生成的有限循环群。如果G的阶数是n，即|G|=n，则an=e，且G=a，a2，a3，an-1，an=e，其中e是中的幺元，n是使an=e的最小正整数。证明 假设对于某个正整数m，m是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(kI)，设k=mq+r，其中，q是某个整数，0rm。这就有 ak= amq+r= (am)q * ar= ar这就导致G中的每一个元素都可以表示成ar (0rm )，这样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n矛盾。所以 am=e (m是一个群，A,BP(G)且A ，B ，记 AB = a*b| a A, bB 和 A-1 = a-1| aA分别称为A,B的积和A的逆。二. 陪集定义 设是群 的一个子群，aG，则集合aH( Ha )称为由a所确定的H在G中的左陪集（右陪集），简称为H关于a的左陪集（右陪集），记为aH(Ha)。元素a称为陪集aH(Ha)的代表元素。三.拉格朗日定理 设是群 的一个子群，那么1) R=|aG,bG且a-1 *bH是G中的一个等价关系。对于aG，若记 aR=x | xG且R 则 aR = aH2) 如果G是有限集，|G|=n，|H|=m，则m|n.（即整除）证明 1) ：对于任一aG，必有a-1 G，使a-1 * a =e H，所以R，即是自反的。II：对于任意a,G，若 R ，则a-1 * bH ，因为H是G的子群，故(a-1 * b)-1 = b-1 * aH，所以 R，即是对称的。III：对于任意a,cG，若 R ， R ，则a-1 * b H ，b-1 * c H ，所以a-1 * b * b-1 * c = a-1 * c H，故 R，即是传递的。对于aG ，我们有：b aR R a-1 * b H baH。 因此 aR = aH2)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不 同的等价类a1R ，a2R ， ，akR ，使得又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有a* h1a* h2(aG) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,k。因此 n=|G|= = =mk推 论 1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论2 设是n阶有限群，那末对于任意的aG，a的阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群中的幺元。如果n为质数，则必是循环群。证明见书210 例：见书210 例题 作业P211 ()()5.8 同态与同构1 同态映射 同态象 定义 设和是两个代数系统， 和*分别是和上的二元(n元)运算，设是从 到的映射，使得对任意a，a2A，有(aa2)=(a) *(a2)则称为由到的一个同态映射 ，称同态于，记作。把称为的一个同态象。其中() ()，A 例1、A=I, B=-1, 0,1, f是A到B的映射，f(x)=sign(x)，则sign是从到的一个同态映射 例2、 和,x,y ,则是从到 的一个同态映射例3、到上定义则是从到上的同态映射。 2 满同态 单同态 同构 定义 设是由到的一个同态，如果是从 到的一个满射，则称为满同态；如果是从到的一 个入射，则称为单一同态；如果是从到的一个双射， 则称为同构映射，并称和 是同构的，记作 。 上例1，例2都是满同态，例3是同构例4，和两个代数系统，f(x)=ax, f:到的一个同态映射 1) aI,f(I) I,因此f是到的同态映射，自 同态2) a=1,-1, f(I)=I,因此f是到的同构映射，自同 构3) aI,a 0,f是到单一同态。定理1：f是从代数系统到的同态映射，若 是群，也是群。 证明：1）f(A) B, f是从到的同态映射 。2）封闭， b1,b2f(A), b1 * b2 f(A)3）可结合4）f(e)是的幺元5）中每个元素有逆元定理2：G是代数系统的集合，则G中代数系统中的同构关系 是等价关系。证明见书2163 同余关系 同 余类 定义 是代数系统，R是A上的一个等价关系， 1）如果当R,R,就有R,则称R是A上关于*的同余关系。 2）由这个同余关系R将A划分成的等价类称为同余类。例5，代数系统 ，I上的关系R=|x y (mod 3)， 验证R是I上关于+的同余关系，求R的同余类。定理：设f是从到的一个同态映射，如果A上定义 的二元关系R 为 R当且仅当f(a1)=f(a2)，那么R是A 上的同余关系。证明见书219