匀速运动点电荷产生的电磁场指导老师： 孙老师和助教老师 莫建勇 pb05203125库仑定律只告诉我们一个静止的 点电荷的成场规律,那么当点电荷 匀速运动时的成场规律怎样呢? 怎样求解一个匀速运动点电荷对 另一个点电荷的作用力呢？回答 是可以运用狭义相对论的理论来 进行求解.问题的提出：若在一个惯性参考系k中,q2是静止的，而q1 相对k系匀速运动，在k系中若要求q2对q1的 作用力则直接用库仑定律即可；若要求q1对 q2的作用力，可以取另一个关于q1静止的惯 性参考系k系，先在k系中求出有关的 物理量，然后用狭义相对论中的惯性系k与 k系之间的变换公式，将k系中的物理 量转化到k系中，这样就可以求出在k系中q1 对q2的作用力了，并可以进一步求得匀速运 动的点电荷所成的电磁场,并可检验静电磁 场中的一些定理在这种情况下是否成立。基本想法:主要内容: 求匀速运动点电荷形成的电场 验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理 求匀速运动点电荷形成的磁场 验证磁场的高斯定理 导出毕奥-沙伐尔定理在做具体工作之前引进一个基本假设：电荷量不变原理：一个系统中总电量，在不 同的惯性系中观察都是一样的对这条基本假设的几点看法：1.通常气体宏观上是显电中性的，假如 带电物体的总电量与它的运动状（即 参考系的选择）有关的话，那么我们 知道气体中例如氧气中的质子与电子 的运动状态不相同的，也就是说氧气 分子对外是有电性的，若说这个电量 很小不易被观测到，那么一个系统中 的大量分子的总和一定是容易测到的 ，所以说明带电物体的总电量与其运 动状态无关。2.2.我们知道电荷有一个很重要的特点： 电荷是量子化的。如果说电荷总量与 其运动状态有关的话，那么我们知道 在狭义相对论中标量一般是在原惯性 系K中测量，乘以或除以一个因子或者 其它形式。总之一般都是以V为自变量 的连续函数，这与电荷是量子化的相 对矛盾。所以总电量应该是一个与两 惯性系相对速度V无关的常量，即总电 量的不变原理。3.3.在精度较高的电子荷质比实验中，高 速运动的带电粒子的荷质比的测定实 验证明符合如下关系式：这就说明电子的总电荷不随其运 动状态改变而改变.一 匀速运动点电荷的电场在惯性系k中, q q2 2是静止的，而是静止的，而q q1 1相相 对对k k系以系以v v沿沿x x轴正向运动，取另一轴正向运动，取另一 个关于个关于q q1 1静止的惯性参考系静止的惯性参考系kk系系设当k系与k系的原点重合时t=t=0在在kk系中可直接运用库仑定律系中可直接运用库仑定律: :根据狭义相对论力的变换公式由上述公式可得:注:为书写方便下文令所以得到k系中的作用力Lorentz Transformations得到: 所以k系中作用力的最终表达式:所以k系中作用力的矢量表达式:上式可知牛顿第三定律在这种情况 下是不成立的由作用力我们可以直接得到电场直角 坐标系下的表达式:匀速运动点电荷的电场匀速运动点电荷的电场把电场用球坐标表示：从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激 发的电场不再是球对称了.下面考察两个特殊 的位置:1.=0 a1 在点电荷速度方向电场减小为原 来的a的平方分之一。 2. =/2=/2 a1 在点电荷速度方向电场增强 为原来的a倍。用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点 电荷所激发电场的差异：二.验证静电场高斯定理可见,以匀速运动点电荷为球心的球面 为高斯面是满足高斯定理的,其他任意 一个封闭的曲面都是满足高斯定理的, 证明同静电学中一样,详见胡友秋等编 著的电磁学p27页。二.检验静电场环路定理：所以其旋度为 :这就说明匀速运动的点电荷激发的 电场不再满足静电场环路定理!三.匀速运动点电荷的磁场事实上在上半部分中q1在q2就已经激发出磁 场了,但由于q2是静止的,所以不能通过洛仑 兹力检测出来,所以必须让q2动起来！同前面方法得到k系中的作用力Lorentz Transformations得到: 下面进行q2的速度在两个惯性坐标系中的转 换,从而求出在k系中的作用力由狭义相对论速度变换公式 :由狭义相对论力的变换公式由狭义相对论力的变换公式: :所以得到k系中的作用力取t=0时刻来说明问题若q2相对于k系是静止的,则有 (t=0)比较两种情况得到：正是因为q2在k系中以v2沿x轴正向运动 而多出这么一项,这就是Lorentz力!又 因为:通过比较得到 :对一般情况有:由前面得到的电场表达式得到磁场:下面验证磁场的高斯定理上式即q1为在q2处激发的磁场四.验证磁场高斯定理 :所以在这种情况磁场高斯定理是成立的五.毕奥-沙伐尔定理的证明有一根无限长通电直导线，设有一根无限长通电直导线，设 其电子与离子的电荷线密度为其电子与离子的电荷线密度为, 求其距导线求其距导线r r处处A A的电磁场的电磁场该电场是由静止的离子和运动的电子 激发电场的合成 1.离子激发的电场因为离子是静止的,由静电场的高斯定理: 2.电子激发的电场由前面得到 :因为电流是稳恒的,所以不妨取t=0由对称性,电场其垂直于导线:A处的电场:由于A点是任意的,所以通电直导线周围不 存在电场.下面考察A处的磁场:这就是著名的毕奥-沙伐尔定理,这里 用狭义相对论就可以很容易地导出.总结:从历史上看,相对论很大程度上起源于电 磁学的理论研究,只是尝试了运用已学过 的狭义相对论来解决一些简单问题,中间 肯定难免有些不妥之处,请各位老师指正参考文献： 电磁学 胡友秋等 中国科大出版社 The Feynman Lectures On Physics 力学 杨维闳 中国科大出版社 运动系统的电磁场 屠德雍 高教出版社 电动力学 虞福春等 北京大学出版社肯定有不足之处恳请大家指正谢谢大家!