二 逻辑代数和逻辑函数2.1 基本逻辑运算 2.2 逻辑函数的变换和化简 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法本章要求： 掌握逻辑代数的基本公式、运算定 律、规则。熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑 函数的公式法化简。掌握卡诺图及用卡诺图化 简逻辑函数的方法。2.1 基本逻辑运算数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻 辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以 数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基 本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两 个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。0和1表示两个对立的逻辑状态。 例如：电位的低高（0表示低电位，1表示 高电位）、开关的开合等。A 为原变量， 为反变量 1. 基本运算公式(0-1律，还原律)与（乘） 或（加） 非2. 基本运算定律结合律结合律交换律交换律分配律分配律普通代数 不适用!证明: 右边 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律=A +A(B+C)+BC ; 结合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 结合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=1=左边吸收律: 吸收多余（冗余）项，多余（冗 余）因子被取消、去掉 被消化了。)（1）原变量的吸收：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A长中含短， 留下短。（2）反变量的吸收：证明：长中含反， 去掉反。想一想： ?（3）混合变量的吸收：证明：1吸收正负相对， 余全完。反演律反演律（德 摩根 (De Morgan)定理）可以用列真值表的方法证明：3. 基本运算规则（1 1）运算顺序：）运算顺序：先括号 再乘法 后加法。（2 2）代入规则：）代入规则：在任何一个包含变量在任何一个包含变量 A A 的逻辑的逻辑 等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有 A A 的的 位置，则等式仍然成立。位置，则等式仍然成立。例：例：已知已知则得到（3 3）反演规则：）反演规则：将函数式 F 中所有的 + 变量与常数均取反（求反运算）互补运算2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F显然：1. 变换时，原函数运算的先后顺序不变例1：与或式注意括号注意 括号 例2：与或式反号不动反号不动（4 4）对偶规则：）对偶规则：若若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对偶式：对偶式：对于任何一个逻辑式对于任何一个逻辑式 Y Y，若将其中的若将其中的 “ “ ” ” 换成换成 “ “+”+”，“ “+” +” 换成换成 “ “ ” ”，0 0 换成换成 1 1，1 1 换成换成 0 0，则得到一个新的逻辑式则得到一个新的逻辑式 Y Y ，则则 Y Y 叫做叫做 Y Y 的对偶式的对偶式对偶式2.2 逻辑函数的变换和化简四种表示方法逻辑代数式 (逻辑表示式, 逻辑函数式)111;（3 3） 全体最小项之和为全体最小项之和为1;1;（4 4） 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0;0;（5 5）相邻性：相邻性：若两个最小项只有一个因子不若两个最小项只有一个因子不同则这两个最小项具有相邻性。同则这两个最小项具有相邻性。（6 6）具有相邻性的两个最小项之和可以合并）具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子成一项并消去一对因子; ; 以三变量的逻辑函数为例分析最小项表示及特点最小最小项项使使最小最小项为项为 1 1的的变变量取量取值值对应对应 的十的十 进进制数制数编编号号 A B CA B C 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 00 1 0 0 1 10 1 1 1 0 01 0 0 1 0 11 0 1 1 1 01 1 0 1 1 11 1 10 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7mm0 0mm1 1mm2 2mm3 3mm4 4mm5 5mm6 6mm7 7变量 赋值 为1时 用该 变量 表示 ；赋0 时用 该变 量的 反来 表示 。可见 输入 变量 的八 种状 态分 别唯 一地 对应 着八 个最 小项 。当输入变量的赋值 使某一个最小项等 于1时，其他的最 小项均等于0。之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所 有的输入变量，不可能再分解。例如：对于三变量的 逻辑函数，如果某 一项的变量数少于3 个，则该项可继续 分解；若变量数等 于3个，则该项不能 继续分解。相邻 最小项的合并：若两个最小项逻辑相邻则可以 消去一对互反的因子合并成一项。 逻辑相邻逻辑相邻的项可以 合并，消去一个因子二、最大项二、最大项1 1、定义：、定义：在在n n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若MM为为n n个变量之个变量之 和，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在和，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在 MM中出现一次，则称中出现一次，则称MM为该组变量的为该组变量的最大项最大项。2 2、特点：特点：（1 1）n n变量的最大项应为变量的最大项应为2 2n n个。个。（2 2） 输入变量的每一组取值都使一个且输入变量的每一组取值都使一个且 仅有对仅有对 应的最大项的值等于应的最大项的值等于0 0。（3 3）全体最大项之积为）全体最大项之积为0 0；（4 4）任意两个最大项的和为）任意两个最大项的和为1 1； （5 5）相邻性：相邻性：若两个最大项只有一个因子不同则若两个最大项只有一个因子不同则 这两个最大项具有相邻性。这两个最大项具有相邻性。 （6 6）具有相邻性的两个最大项之积可以合并成一）具有相邻性的两个最大项之积可以合并成一 项并消去一对因子项并消去一对因子; ;最大最大项项使使最大最大项为项为 0 0的的变变量取量取值值对应对应 的十的十 进进制数制数编编号号 A B CA B C 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 1 00 1 0 0 1 10 1 1 1 0 01 0 0 1 0 11 0 1 1 1 01 1 0 1 1 11 1 10 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7MM0 0MM1 1MM2 2MM3 3MM4 4MM5 5MM6 6MM7 7三、最大项和最小项之间的关系三、最大项和最小项之间的关系例如例如2.3.2 逻辑函数的两种标准形式可以把任何一个逻辑函数一般可以把任何一个逻辑函数一般 表达式化为最小项之和的标准形式表达式化为最小项之和的标准形式利用利用1. 1. 最小项之和形式最小项之和形式标准的与或表达式标准的与或表达式例如例如 给定逻辑函数给定逻辑函数则可化为则可化为例：例：将逻辑函数将逻辑函数展开为最小项之和的形式展开为最小项之和的形式2. 2. 最大项之积形式最大项之积形式任何一个逻辑函数都可以化成任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标准形式最大项之积的标准形式若若给定给定则则例：例：将逻辑函数将逻辑函数展开成最大项之积的形式展开成最大项之积的形式解：解：已求得已求得2.3.3 卡诺图卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放 在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。mm3 3mm2 2mm1 1mm0 0A AB B0 10 10 01 1mm1010mm1111mm9 9mm8 8mm1414mm1515mm1 1 3 3mm1212mm6 6mm7 7mm5 5mm4 4mm2 2mm3 3mm1 1mm0 0ABABCDCD 00 01 11 1000 01 11 10 00 00 01 01 11 11 1010mm6 6mm7 7mm5 5mm4 4mm2 2mm3 3mm1 1mm0 000 01 11 1000 01 11 100 01 1A ABCBC表示最小项的卡诺图表示最小项的卡诺图两变量卡诺图两变量卡诺图四变量卡诺图四变量卡诺图三变量卡诺图三变量卡诺图说明：一格一个最小项相邻两格为逻辑 相邻项有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单 元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4,7单元取 1，其它取0 A B C 编号0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 20 1 1 31 0 0 41 0 1 51 1 0 61 1 1 7ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号: 从真值表到卡诺图：对应填写2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示A B Y0 0 10 1 11 0 11 1 0AB01010111输出变量Y的值输入变量例1：二输入变量卡诺图逻辑相邻：相邻单 元输入变量的取值 只能有一位不同。0100011110ABC00000111输入变量输出变量Y的值A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1例2：三输入变量卡诺图注意：00与10逻辑相邻。ABCD0001111000011110四变量卡诺图编号为0010单 元对应于最 小项：ABCD= 0100时函 数取值函数取0、1 均可，称为 无关项。只有一 项不同例3：四输入变量卡诺图2.3.4 逻辑函数的卡诺图表示1. 1. 把逻辑函数化为最小项之和的形式；把逻辑函数化为最小项之和的形式；2. 2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置添在卡诺图上与这些最小项对应的位置添1