导体的静电平衡条件当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间 变化时，该带电体系就达到了静电平衡。导体的特点是其体内 存在自由电荷，它们在电场作用下可移动，从而改变原有电荷 分布。反过来电荷分布的改变又会影响到原有的电场分布。可 见有导体存在时电荷的分布和电场的分布是相互影响、相互制 约的。并不是电荷和电场的任何一种分布都是静电平衡分布。导体的静电平衡条件此平衡条件可论证如下：若导体内的电场E不处处为零， 则在E不为零的地方，自由电荷将会移动，亦即导体没有达到 静电平衡。换句话说，当导体达到静电平衡时，其内部场强必 定处处为零。体内场强处处为零1从上述导体静电平衡条件出发，可直接得到以下几点推论：在达到静电平衡以后，导体是个等势体，导体表面 是等势面。因导体内任意两点P、Q之间的电势差为若场强E处处为零，则导体内部所有各点的电势相等，从而导 体表面是个等势面。在达到静电平衡以后，导体外的场强处处与它的 表面垂直。因为电力线处处与等势面正交，所以导体外的场强 必定与它的表面垂直。2电荷分布可用高斯定理证明。假定导体内部某处 有未被抵消的净电荷q，则可取一个完全在 导体内部的闭合高斯面S，将它完全包围起 来。据高斯定理，通过S的电通量为q/0是一 非零值。即在S上面至少有些点的场强E不 等于零。S面上场强不为零的这些地方就达 不到静电平衡，电荷就会重新分布，直到场 强处处为零体内电荷完全抵消为止。所以据 静电平衡条件的要求，在达到静电平衡状态 后，导体内部必定处处没有未被抵消的净电 荷，电荷只能分布在导体的表面上。在达到静电平衡时，导体内部处处没有未被抵消的净电 荷（=0），电荷只能分布在导体的表面。S q .3S导体壳（壳内无其它带电体）上面是实心导体的情况。如果是一个导体壳，当导体壳 内没有其它带电体时在静电平衡条件下，导体壳的内表面上处处没有电荷 ，电荷只能分布在外表面，空腔内没有电场，或者说空腔 内的电势处处相等。证明：在导体壳内、外表面之间取一闭 合曲面S将空腔包围起来。由于闭合面S 完全处于导体内部，据平衡条件其上场 强处处为零，因此没有电通量穿过它。 按照高斯定理，在S内部（即导体壳的内 表面上）电荷的代数和为零。4-+S进一步还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代数和 为零，而且各处的面电荷密度也为零。利用反证法，假定内表面上不处处为零，由于电荷的代数 和为零，必然有些地方0，有些地方 0，而电力线只能从 正电荷出发终止于负电荷，不能在没有电荷的地方中断。这样 空腔内就有电力线从0的地方出发终止于内表面上 0的地 方。5-+S如果存在这样一根电力线，电场沿此电力线的积分必不为 零。即这电力线的两个端点之间有电势差，但这电力线的两端 都在同一导体上，静电平衡要求这两点的电势相等，因此上述 结论与平衡条件相违背。可见在达到静电平衡时，导体壳的内表面上必须处处为 零，既然内表面上没有电荷，腔内就不可能有电力线，即腔内 的场强为零。没有电场就没有电势差，故腔内空间各点的电势 处处相等。6导体壳（壳内有其它带电体）导体壳空腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导 体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零。例如腔内 有物体带电q，则内表面带电-q。证明：如图，在导体壳内、外表 面之间作一高斯面S，由于高斯 面处在导体内部，在静电平衡时 场强处处为零。所以通过S的电 通量为零。据高斯定理，高斯面 内q=0。若导体壳内有一带电体 带电q，则内表面必定带电-q。- -q+q+S7BA+3+ +-3+ + +例如，导体球B被同心的导体球A所包围。若分别给A、B两导 体以电量+5微库仑和+3微库仑，那么A球的外表面带电多少？设想先不给A球带电， 则它的内表面必定要出现 3微库仑的电量，这实际 上是一种静电感应现象。 由于内球B带正电而把3 微库仑的电量吸引到A球的 内表面，多余的+3微库仑 的电量排斥到外表面。当 再给A球+5微库仑的电量时 ，它将分布在外表面，使 外表面共获得+8微库仑的 电量。5+3=88面面电荷密度与场强的关系电荷密度与场强的关系 尖端放电尖端放电在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强E与 该处导体表面的面电荷密度有如下关系9导体的静电平衡条件: 体内场强处处为零几点推论： 导体是个等势体，导体表面是等势面。导体外的场强处处与它的表面垂直。电荷分布:在达到静电平衡时，导体内部处处没有未被抵消 的净电荷（=0），电荷只能分布在导体的表面。导体壳（壳内无其它带电体）在静电平衡条件下，导体壳的内表面上处处没有电荷， 电荷只能分布在外表面，空腔内没有电场，或者说空腔内的 电势处处相等。导体壳（壳内有其它带电体）导体壳空腔内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体 壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零。例如腔内有 物体带电q，则内表面带电-q。101 一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R。在腔内离球心的距离 为a处(aR1)，若内球 壳带上电荷Q，则两者的电势分别为（选无穷远处为电势零点）。现用导线将两球壳相连接，则 它们的电势为R1QR2-Q D用导线将两球壳相连接后，内球壳变 为外球壳内表面的一部分，即电荷Q全部 分布在外球壳的表面。134 如图所示，在静电场中有一立方形均匀导体，边长为a。已 知立方体中心0处的电势为V0，则立方体顶点A的电势为 _。 0AaV0静电平衡，导体等电势141. 一均匀带电球体如图所示，总电荷+Q。其外部同心地罩一 内、外半径分别为r1、r2的金属球壳，设无限远处为电势零点 ，则球壳内半径为r处的场强和电势分别为 一金属球壳的内外半径分别为R1和R2，带电 荷为Q。在球心处有一电荷为q的点电荷，则球 壳外表面上的电荷面密度=_。练习：r1+Qpr2rR1R2Qq151. 一均匀带电球体如图所示，总电荷+Q。其外部同心地罩一 内、外半径分别为r1、r2的金属球壳，设无限远处为电势零点 ，则球壳内半径为r处的场强和电势分别为r1+Qpr2r静电平衡，导体内部场强为零等电势 B16一金属球壳的内外半径分别为R1和R2，带电荷为Q。在球 心处有一电荷为q的点电荷，则球壳外表面上的电荷面密度 =_。R1R2Qq电荷Q分布在外表面，内表面有感应电荷-q，外表面有感 应电荷+q，因此外表面有电荷Q+q。球壳外表面上的电荷面密度：171 孤立导体的电容所谓孤立导体，就是说在这导体的附近没有其他导体和带 电体。+ q设想使一个孤立导体带电q，它将具有电势U。理论和实验 都表明，随着q的增加U将按比例地增加。这样一个比例关系可 以写成式中C与导体的尺寸和形状有 关，它是一个与q、U无关的常 数，称为孤立导体的电容。它 的物理意义是每升高单位电势 所需的电量。18对于一个孤立的导体球故它的电容为电容的国际制单位为法拉，简称法，用F表示，这是一个非 常大的单位。如将地球看作孤立导体，其电容只有70910-6法， 所以通常采用微法F(=10-6F)或微微法pF(=10-12F)为单位。19ACD qAqDqC2 电容器及其电容如果在一个导体A附近有其它导体，则这导体的电势 UA不仅与它自己所带电量qA的多少有关，还取决于周围其 他导体的相对位置和形状。这是由于qA使邻近导体的表面 产生感应电荷，它们将影响周围空间的电势分布和每个导 体的电势。在这种情况下，不可能再 用一个常数C= qA / UA来反映 UA和qA之间的依赖关系了。要 想消除其它导体的影响，可采 用静电屏蔽的方法。20ABCDqA-qA如图所示，用一个封闭的导体壳B把A包围起来，并将B接 地（UB=0）。这样一来，壳外的导体C、D等就不会影响A的 电势了。这时若使A带电qA ，导体壳B的内表面将带电-qA ，随 着qA的增加， UA将按比例地增大，因此可定义它的电容为当然这时CAB已与导体壳B有关了。21ABCDqA-qA其实导体壳B也可不接地，此时它的电势UB0。虽然这时 UA 、 UB都与外界的导体有关，但电势差UA UB仍不受外界 的影响，且正比于qA ，比值不变。这种由导体壳B和腔内的导 体A所组成的导体系，叫做电容器。比值叫做它的电容。电容器的电容与两 导体的尺寸、形状和它们的相对位 置有关，与q和U无关。组成电容器 的两导体叫做电容器的极板。22实际中，对电容的屏蔽性的要求 并不象上面所述的那样苛刻。如图， 一对平行平面导体，A、B的面积很大 而且靠得很近，电荷将集中在两极板 相对的表面上，电力线集中在两极板 之间狭窄的空间里。这时外界的干扰 对二者之间电势差的影响实际上是可 以忽略的，也可把这种装置看成电容 器。+ + -AB-23 平行板电容器实际常用的绝大多数电容器可看成是 由两块彼此靠得很近的平行金属极板导体 A、B所组成，设两极板的面积均为S，分 别带有+q、-q的电荷，内表面之间的距离 是d，在极板面的线度远大于它们之间的 距离(Sd2)的情况下，除边缘外两极板 之间的电场可视为匀强电场。+ + + +-AB-d+-S电容定义24电荷的面密度分别为电场强度两极板间电势差电容对于电容器的电容常略去脚标不写，即+ + + +-AB-d+-S25+ + + +-AB-d+-S此式表明，C正比于极板面积S， 反比于极板间隔d。它指明了加大电容 器电容量的途径。首先必须使电容器 的极板间的间隔小，但由于工艺制作 的困难，这有一定的限度；其次要加 大极板的面积，势必要加大电容器的 体积。为得到体积小、电容量大的电 容器，需要选择适当的绝缘介质。这 个问题留待下节讨论。26 同心球形电容器0RARBAB如图所示，电容器由两个同心球形导体A、B所组成，其 半径分别为RA和RB（ RARB）。设A、B分别带电荷q，利用 高斯定理可知，两导体之间的电场强度方向沿径向两球形电极A、B之间的电势差为270RARBAB于是得电容为281 电容器储能如果把一个已充电的电容器两极板用导体短路而放 电，可见到放电的火花。利用放电的火花甚至可以熔焊 金属，即所谓“电容焊”。放电火花的势能必然是由充了 电的电容器中储存的电能转化而来的。那么电容器储存 的电能又是从哪里来的呢？下面会看到，在电容器充电 的过程中，电源必须作功才能克服静电场力把电荷从一 个极板搬运到另一个极板上。这能量以电势能的形式储 存在电容器中，放电时就把这部分能量释放出来。七 静电场的能量 能量密度对于电场的能量以电容器为例来进行讨论+ + + +- - 029-+-+-设电容器每一极板所带电量的绝对值为Q，两极板间 的电压为U。为了计算这电容器储存了多少电能，先分析 一下电容器的充电过程。充电过程可用下图表示。电子从电容器一个极板被拉到 电源，并从电源被推到另一极板上去。这时被拉出了电子的 极板带正电；推上电子的极板带负电。如此逐渐进行下去。设充电完毕时，电容器极板上 带电量的绝对值达到Q。完成这个 过程要靠电源作功，从而消耗了电 源储存的化学能，使之转化为电容 器储存的电能。30-+-+-设在充电过程中某一瞬间，电容器极板上带电量的 绝对值为q，电压为u，这里的u是指正极板电势u+减去负 极板电势u- ，若在这一瞬间电源把-dq的电量从正极板搬 运到负极板，从能量守恒的观点看来，这时电源所作的 功应等于电量-dq从正极板迁移到负极板后电势能的增加 ，即继续充电时，电池要继续作功。此功不 断地积累为电容器的电能，所以在整个 充电过程中储存于电容器的电能总量应 由下列积分计算31-+-+-积分下限0表示充电开始时电容器的电能总量，上限Q表 示