材料弹塑性基础主讲人: 刘拥军西南交通大学材料成型及控制工程教研室二八年十二月材料成型及控制工程教研室2 2联系方式： 办公室：87600726； 手 机：13551284228； 电 邮：lyjlllxlllsina.com； 网络平台： http:/dean.swjtu.edu.cn/page/index.jsp?UserName=6370想，要壮志凌云！ 学，要脚踏实地！ 材料成型及控制工程教研室3 3是研究物体在外力作用下和温度变化时所引起的应力和 变形，以及由变形所产生的位移的一门学科。弹性力学所 研究的是物体在弹性变形阶段的力学问题。弹性力学不但能解决材料力学和结构力学中的问题，而且能解决它们所不能解决的问题，其研究范围更为广泛 ，方法更加精确。第1章 绪 论1-1 弹性力学的内容和研究方法一、弹性力学材料成型及控制工程教研室4 41、研究对象材料力学的研究对象主要是杆件，弹性力学的研究对象，除杆件以外，还包括板、壳以及实体（例如滚珠）等。2、研究的方法在材料力学中研究梁的弯曲时，引用了平面截面假设，即变形前的平面截面在变形后仍保持为平面。二、材料力学与弹性力学之间的区别材料成型及控制工程教研室5 5在弹性力学里就不作平面截面假设，而是从变形的连续性 出发建立几何方程和变形协调条件，即变形前的连续物体、变 形后仍保持连续，不发生重叠现象或出现裂纹情况。因此，在大多数的情况下，物体变形后为了保持连续性，原来的平面截 面就不再保持为平面。材料成型及控制工程教研室6 6弹性力学研究平衡是以构件内任一 微小单元体为对象，建立平衡微分方程 ，并同时建立微元体间的变形协调条件 。这样的研究方法，反映了弹性体变形 的普遍规律，所得的结果更符合实际情 况。3、分析对象图1-2材料力学在研究构件的平衡时，是用假想截面从构件中 切截出一个分离体来考虑，因而只能保证整体平衡，而不能保 证构件各微小部分的平衡。材料成型及控制工程教研室7 7（1）和材料力学、结构力学一起，综合地、不同层次地解决各类工程实际问题；（2）校核初等理论所得出公式的可靠性，精确性以及适用范围；（3）为后继课程提供基本方程和研究方法。三、弹性力学的基本任务材料成型及控制工程教研室8 81、假设物体是连续的： 即假设物体整个体积内毫无空隙地都充满着介质。根据连续性假设，物体内的一些物理量，例如 应力、应变、位移等，才可能是连续的； 2、假设物体是均匀的：即假设整个物体由同一性能材料所 组成的，即各点的物理性质，如E、v等不随坐标不同而改变。 3、 假设物体是各向同性的 即认为材料沿各个方向的力学 性能相同。即认为某一点沿各个方向的力学性质E, v等都相同； 4、 假设物体是完全弹性的应力与应变呈线性关系，即符合虎克定律。1-2 弹性力学的基本假设材料成型及控制工程教研室9 95、小变形假设 即认为物体在外力作用下各点的位移都远 小于其本身的几何尺寸，而应变和转角都远小于1。 这样，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以用变形以前的几何尺 寸来代替变形以后的尺寸。此外，物体的变形和各点的位移表 达式中二阶微量可以略去不计，从而使得几何变形线性化； 6、 假设物体处于自然状态 即假设物体无初应力。不考虑物体在制造和加工过程（铸造、焊接、碾压、锻压等）中的初 应力。材料成型及控制工程教研室10 10弹性力学中经常用到的基本概念有外力、应力、应变和 位移。作用在物体的外力可以分为体积力和表面力，简称为 体力和面力。 1、体力 分布在物体体积内的力，如重力、惯性力、电 磁力等。 它在坐标轴Ox, Oy, Oz上的投影称为体力分量 X,Y,Z, 以沿坐标轴正方向为正，反之为负。 它们的因次是 力长度3。 2、面力 是分布在物体表面上的力，例如流体压力、物 体表面接触力等。它在坐标轴Ox, Oy, Oz上的投影称为面力 ，分量X,Y,Z, 以沿坐标轴正方向为正，反之为负。它们的因 次是力长度2。1-3 规定的符号材料成型及控制工程教研室11 113、 应力 单位面积上的内力 ,因次是力长度2。正应力剪应力材料成型及控制工程教研室12 124、正面 截面上的外法线沿着坐标轴的正方向，这个截面叫正面。 正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 沿坐标轴反方向为负。 5、负面 截面上的外法线沿着坐标轴的反方向，这个截面叫负面。 负面上的应力分量以沿坐标轴反方向为正； 沿坐标轴正方向为负。对于正应力说来 ,正为拉应力，负为压应力； 对于剪应力说来，没有正与负之分.材料成型及控制工程教研室13136、变形就是形状的改变，物体的变形可以归结为长度的改变和 角度的改变。 为了分析物体在其某一点P的应变状态，在这一点沿着 坐标轴Ox, Oy, Oz的正方向取三个微小线段PA, PB, PC,如 图1-4。 物体变形后，各线段的每单位长度的伸缩，称为线应变 ， 线应变以伸长为正，缩短为负。 各线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变， 剪应变以直角变小时为正，反之为负。 线应变和剪应变都是无因次的数量。材料成型及控制工程教研室14 14图1-4材料成型及控制工程教研室15 157、位移就是位置的移动。物体内任一点P，变形后移动到点 （见图1-4），P点的位移，用它在Ox, Oy, Oz三轴上的投影u, v, w来表示，以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。u, v, w称为该点的位移分量。位移及其分量的因次是长 度。物体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变 分量和位移分量，都是随着该点的位置而变动，因而都是位 置坐标的函数。材料成型及控制工程教研室16 16第2章 平面问题的基本理论任何弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，所以实际的弹性力学问题都是空间问题。但对于某种特殊形状的弹性体、受有某种特殊外力，就可以将空间问题转化为平面问题处理，使分析和计算工作量大为简化，而又可得到满足一定的工程精度的要求。2-1 平面应力问题和平面应变问题材料成型及控制工程教研室17 17设有很薄的等厚度平板形式的弹性 体，如图2-1所示。只在板边上作用有平行于板面，并且沿板厚均匀分布的面力 。体力也平行于板面并且不沿厚度变化 。例如平面链片、板式吊钩、梁腹板、 高梁、薄圆环、旋转圆盘等，就属于此 类问题。设薄板的厚度为h，以薄板的中面为 xOy面，Oz轴垂直于中面。 图2-1一、平面应力问题材料成型及控制工程教研室18 18因为板很薄，外力沿厚度均匀分布，应力沿板厚又是连续分布的，所以可认为在整个薄板的所有各点都存在z=0, zx=0, zy=0 注意到剪应力的互等定理，因此xz=0, yz=0 。这样，只剩 下平行xOy平面的三个应力分量：x , y , xy=yx 同时，也因为板很薄，这三个应力分量，以及所有的需要 考虑的应变分量和位移分量，都可以认为沿板厚是不变的，即 它们只是x和y的函数，所以这种问题称为平面应力问题。材料成型及控制工程教研室19 19二、 平面应变问题设有等截面长柱体形弹性体，其受力的特点是：面力和 体力 都平行于横截面，且沿长度（Oz轴）方向不变化，支承情况 也沿长度方向不变化。例如厚壁圆筒、高压管道、滚柱 、 水坝等，见图2-2。材料成型及控制工程教研室2020假如图2-2所示长柱体，两端因受约束而在OZ轴方向不能移动则此柱体各横截面上的位移分量w均为零，且位移分量u与v仅为坐标x, y的函数，与OZ轴无关，即u=u(x,y),v = v(x,y),w = 0这类问题称为平面位移问题，也称为平面应变问题。在这种情况下，图2-2所示柱体的每一横截面都可视为对称面，即zx =0，zy=0 。根据剪应力互等定理，可知xz =0，yz =0。 由于Z方向变形受阻，所以z并不等于零。平面应变问题有四个应力分量：x , y , z ，xy=yx 材料成型及控制工程教研室21 212-2 平衡微分方程弹性力学分析问题要从静力学方面、几何学方面和物理 学 三方面来考虑。首先考虑静力学方面，根据平衡条件导出应力分量和体力分量之间的关系式，即平面问题的平衡微分 方程。一般来说，应力分量是坐标x和y的函数，因此，作用于左右面或上下面的应力分量不完全相同，差一个微小量。例如，设作用于左面中点处的正应力是x ，则作用于右 面中点处的正应力，由于x坐标的改变，按泰勒（Taylor）级数展开：材料成型及控制工程教研室2222图2-3材料成型及控制工程教研室2323。 在静力平衡条件下，各应力分量与体力分量必须满足平衡条 件。首先以通过中心D并平行于Oz轴的直线为矩轴, 由 得合并相同的项，得到除以dxdy，略去微量不计（亦即dx, dy都趋于零时），得出（2-1）这就是已证明过的剪应力互等定理。材料成型及控制工程教研室2424列出对Ox轴投影的平衡方程 ， 得约简整理以后，得两边除以dx, dy得材料成型及控制工程教研室2525同理，由平衡方程 可得出一个相似的微分方程。于是得出平面应力问题中应力分量与体力分量之间的关系式，即(2-2）式（2-2）即为平面问题中的平衡微分方程。这两个微分方程 中包含着三个未知函数 ，因此，决定应力分量的问题是超静定问题，还必须考虑变形和位移，才能解决问 题。材料成型及控制工程教研室2626对于平面应变问题来说，由于 不等于零，在图2-3所示的六面体上，一般还有作用于前后两面的正应力，但由于它们自 相平衡，并不影响xOy平面上平衡方程（2-1）及（2-2）的建立。所以在平面应变情况下，平衡方程仍适用。材料成型及控制工程教研室27272-3 几何方程和刚体位移现考虑几何学方面，导出平面问题应变分量与位移分量间的关系式，即几何方程。经过平面问题的弹性体内任一点 P，分别沿Ox轴和Oy轴取微小长度的线段PA = dx, PB = dy，如图2-4所示。假设弹性体受力变形后，P, A, B三点各自移动到 ，如图。 图2-4材料成型及控制工程教研室2828材料成型及控制工程教研室2929首先求出线段PA和PB的线应变，即 和 。 设P点在x方向的位移分量为u，则A点在x方向的位移分量 将是 （仅取一阶微量）。P点在y方向的位移分量是v, A点在y方向的位移分量将是 。同理B点在x方向的位移分量是 ，在y方向的位移分量是 。材料成型及控制工程教研室3030材料成型及控制工程教研室3131材料成型及控制工程教研室3232材料成型及控制工程教研室3333材料成型及控制工程教研室3434材料成型及控制工程教研室3535材料成型及控制工程教研室3636材料成型及控制工程教研室3737材料成型及控制工程教研室38382-4 物理方程 虎克定律材料成型及控制工程教研室3939材料成型及控制工程教研室4040一、平面应力问题材料成型及控制工程教研室41 41材料成型及控制工程教研室4242二、平面应变问题材料成型及控制工程教研室4343材料成型及控制工程教研室4444材料成型及控制工程教研室45452-5 边界条件材料成型及控