第五章 离散时间傅里叶变换l随着对信号处理的需求变得越来越高，用模 拟器件实现信号处理的局限性越来越大。 l数字计算机的应用使得复杂的信号处理得以 方便地实现，数字信号处理的应用范围越来 越广，DSP芯片得到大量的使用。 l60年代中提出的FFT算法使得计算机信息处 理进入一个新高潮。使得原来必须用大体积 的模拟电路实现的信号处理工作，可以由一 个芯片或者芯片的一个部分来完成，从而使 电子设备更加地小型化和微型化。5.1离散时间非周期信号的傅里叶变换当周期趋向于无穷大的时候，周期信号 蜕变为非周期信号。这样，我们可以先从 离散时间周期信号的傅里叶分析入手，从 而导出离散时间非周期信号的傅里叶变换 。对对于非周期序列, 进进行截断，即：定义义一个连续连续 函数:可以发现发现 ，连续连续 函数是以为为周期的 离散时间傅里 叶变换(DTFT)频谱频谱 离散时间傅里叶反变换(IDTFT) 无穷级穷级 数，存在收敛问题绝对绝对 可和与平方可和，即：都可以保证证其收敛敛。可以看到，绝对绝对 可和是平方可和的充分条件：例5.1 求（其中）的离散时间傅里叶变换解： 例5.2 求的离散时间傅里叶变换解： 例题题5.3 求方波信号的离散时间时间 傅里叶变换变换 解： =现现在讨论讨论 离散时间时间 傅里叶反变换变换 的收敛问题敛问题 ，所以离散时间时间 傅里叶反变换变换 不存在收敛问题敛问题 。 下面结结合例题题来讲讲明这这个问题问题 。例题题5.4 求的离散时间时间 傅里叶变换变换解： l我们在进行离散时间傅里叶变换的推导过程中，并 没有限定为非周期序列。 l同时，我们注意到周期信号一般是不满足绝对可和 与平方可和的条件的。 l但是，由于周期信号的特殊地位，我们仍然有必要 研究一下周期信号的离散时间傅里叶变换。 l为了不至于引起混乱，可以认为周期信号的傅里叶 级数与傅里叶变换是两样不同的东西。 5.2 离散时间周期信号的DTFT一个周期冲激串 周期对于一个任意的周期序列 5.3 DTFT的性质 5.3.1周期性5.3.2线性5.3.3时移和频移性质频频移性质质5.3.4共轭与共轭对称性实实函数下面，讨论实信号的情况偶函数奇函数偶函数奇函数5.3.5差分性质质 根据时时移性质质，可得差分性质质：5.3.6 时间时间 反转转性质质实偶信号实偶函数实奇信号纯虚函数和奇函数 将实信号分解成为奇信号与偶信号之和：5.3.7 时域扩展性质反映全部信息不反映全部信息显显然，能够够反映的全部信息。 通过时域扩展性质，我们可以看出，时域上的拉开，对应 于频域上的压缩。从概念上来讲，时域上的拉开意味着， 信号值随着时间推进，其变化变缓，对应于高频成分的减 少。 5.3.8频域微分性质5.3.9帕斯瓦尔定理 能量密度谱谱 5.3.10 卷积性质 频频率响应应 对对于LTI系统统来说说 离散时间时间 傅里叶变换变换 是一个无穷级穷级 数，级级数的收敛敛是有条件的。绝对绝对 可和，即：可以保证其收敛。(5-36)式也是LTI系统稳定的充分必要条件。 稳定的LTI系统，其频率响应一定收敛。 5.3.11 相乘性质乘法性质说明两个信号的乘积的频谱等于这两个信号的频谱的 周期卷积，或者说时域的乘积对应频域的周期卷积。