111 椭椭_圆圆11 椭圆及其标准方程对应学生用书P15椭圆的定义设计游戏时，要考虑游戏的公平性某电视台少儿节目欲设计如下游戏规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜考验选手的反应能力与速度问题 1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同问题 2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义椭圆上的点到两焦点距离之和为定值问题 3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离椭圆的定义定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆焦点两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点焦距两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距集合语言PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，2)问题 1：若动点P满足|PA|PB|6，则P点的轨迹方程是什么？提示：1.x2 9y2 5问题 2：若动点P满足|PC|PD|6，则动点P的轨迹方程是什么？2提示：1.y2 9x2 5椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)y2 a2x2 b2焦点坐标(c,0)(0，c)a、b、c的关系a2b2c21平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数 2a，当 2a|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当 2a|F1F2|时，点M的轨迹是一条线段F1F2；当 2ab0)，x2 a2y2 b2依题意，有Error!解得a24，b21.若焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，同理Error!这与ab矛盾y2 a2x2 b2故所求椭圆方程为y21.x2 4法二：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)将A，B坐标代入得Error!解得Error!故所求椭圆方程为y21.x2 4椭圆的定义及应用例 2 如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在x2 4y2 3椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且PF1F2120，求PF1F2的面积思路点拨 因为PF1F2120，|F1F2|2c，所以要求SPF1F2，只要求|PF1|即可可由椭圆的定义|PF1|PF2|2a，并结合余弦定理求解精解详析 由已知a2，b，3所以c1，|F1F2|2c2，a2b2在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入解得|PF1| ，6 55SPF1F2 |PF1|F1F2|sin 120 2.1 21 26 5323 35因此所求PF1F2的面积是.35 3一点通 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用S |PF1|PF2|sinF1PF2求1 2面积，这时可把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|24a22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量4平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆那么( )Ap是q的充分不必要条件Bp是q的必要不充分条件Cp是q的充要条件Dp既不是q的充分条件，又不是q的必要条件解析：若|MA|MB|为定值，只有定值|AB|时，点M轨迹才是椭圆故p为q的必要不充分条件答案：B5已知F1，F2为椭圆1 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若x2 25y2 9|AF2|BF2|12，则|AB|_.解析：由题意，知(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|2a2a，又由a5，可得|AB|(|AF2|BF2|)20，即|AB|8.答案：86点P在椭圆y21 上，且PF1PF2，求SPF1F2.x2 4解：点P在椭圆上，|PF1|PF2|4，即|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|212，|PF1|PF2|2，SPF1F2 |PF1|PF2|1.1 26与椭圆有关的轨迹问题例 3 已知圆B：(x1)2y216 及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程思路点拨 P为AC垂直平分线上的点，则|PA|PC|，而BC为圆的半径，从而4|PA|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆精解详析 如图所示，连接AP，l垂直平分AC，|AP|CP|.|PB|PA|BP|PC|4，P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a4,2c|AB|2，a2，c1，b2a2c23.点P的轨迹方程为1.x2 4y2 3一点通 求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程7ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0，6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是 ，求顶点A的轨迹方程2 3解：设顶点A的坐标为(x，y)，由题意得 ，化简整理，得1，y6 xy6 x2 3x2 54y2 36又A，B，C是ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y6，所以顶点A的轨迹方程为1(y6)x2 54y2 368已知动圆M过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x3)2y264 的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|MC|得|MA|MB|MC|MB|BC|8，即动圆圆心M到两定点A(3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，7且 2a8,2c6，b，a2c27M的轨迹方程是1.x2 16y2 71用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2By21(A0，B0，AB)求解2解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上3涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|PF2|2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法对应课时跟踪训练五1椭圆 25x216y21 的焦点坐标是( )A(3,0) B( ，0)1 3C(，0) D(0，)3 203 20解析：椭圆的标准方程为1，故焦点在y轴上，其中a2，b2，所以x2 1 25y2 1 161 161 25c2a2 b2，故c.所以该椭圆的焦点坐标为(0，)，故选 D.1 161 259 4003 203 20答案：D2若椭圆1 上一点P到一个焦点的距离为 5，则P到另一个焦点的距离为( x2 25y2 9)A5 B6C4 D1解析：由椭圆的定义知a5，点P到两个焦点的距离之和为 2a10.因为点P到一个焦点的距离为 5，所以到另一个焦点的距离为 1055，故选 A.答案：A3已知椭圆的焦点F1(1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )8A.1 B.1x2 16y2 9x2 16y2 12C.1 D.1x2 4y2 3x2 3y2 4解析：F1(1,0)，F2(1,0)，|F1F2|2，又|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，|PF1|PF2|2|F1F2|4，即 2a4.又c1，b23.椭圆的标准方程为1.x2 4y2 3答案：C4两个焦点的坐标分别为(2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程(5 2，3 2)是( )A.1 B.1x2 10y2 6y2 10x2 6C.1 D.1x2 9 4y2 25 4y2 9 4x2 25 4解析：由椭圆定义知：2a2.(5 22)2(3 2)2(5 22)2(3 2)23 10210210a.b.10a2c26答案：A5椭圆 5x2ky25 的一个焦点是(0,2)，那么k_.解析：椭圆方程可化为：x21，y25k则a2 ，b21，又c2，5 k 14，k1.5 k答案：16设P是椭圆1 上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若|PF1|PF2|8，则x2 9y2 5|OP|_.解析：由题意，|PF1|PF2|6，两边平方得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|236.因为|PF1|PF2|8，所以|PF1|2|PF2|220.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP|正好是该平行四边形对角线长的一半由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方9和等于四边长的平方和，即(2|OP|)2(2c)22(|PF1|2|PF2|2)所以 4|OP|2(22)2220，所以|OP|.6答案：67求以椭圆 9x25y245 的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程6解：法一：方程 9x25y245 可化为1.x2 5y2 9则焦点是F1(0,2)，F2(0，2)设椭圆方程为1(ab0)，y2 a2x2 b2M在椭圆上，2a|MF1|MF2|202 622202 622(2)(2)32324，3a2，即a212.3b2a2c21248.椭圆的标准方程为1.y2 12x2 8法二：由题意知，焦点F1(0,2)，F2(0，2)，则设所求椭圆方程为1(0)，y2 4x2 将x2，y代入，得1，66 44 解得8，2(舍去)所求椭圆方程为1.y2 12x2 88点P为椭圆y21 上一点，且F1PF260，求F1PF2的面积x2 4解：由题意知，a2，b1，c，|PF1|PF2|4.3在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即 12|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|.2得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16.由得：|PF1|PF2| .4 3SF1PF2 |PF1|PF2|sin 60 .1 21 24 332331012 椭圆的简单性质对应学生