122 抛抛_ _物物_ _线线21 抛物线及其标准方程对应学生用书P21抛物线的定义如右图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题 1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长问题 2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长问题 3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为 6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)；l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3.问题 1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向2提示：y212x. 向右问题 2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：y212x. 向左问题 3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x212y. 向上问题 4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x212y. 向下抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p 2，0)xp 2y22px(p0)(p 2，0)xp 2x22py(p0)(0，p 2)yp 2x22py(p0)(0，p 2)yp 21平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上对应学生用书P23求抛物线的焦点坐标和准线方程例 1 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向(1)yx2；1 4(2)xay2(a0)3思路点拨 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p.再写出焦点坐标和准线方程精解详析 (1)抛物线yx2的标准形式为x24y，1 4p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是y1.抛物线开口向上(2)抛物线方程的标准形式为y2x，1 a2p.1 |a|当a0 时， ，抛物线开口向右，p 21 4a焦点坐标是，准线方程是x；(1 4a，0)1 4a当a0 时，开口向右；a0)或x22p2y(p20)，过点(3,2)，42p1(3)或 92p22.p1 或p2 .2 39 4故所求的抛物线方程为y2x或x2y.4 39 2(2)令x0 得y2，令y0 得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时， 4，p 2p8，此时抛物线方程y216x；当焦点为(0，2)时， |2|，p 2p4，此时抛物线方程为x28y.故所求的抛物线的方程为y216x或x28y.(3)由题意知，抛物线标准方程为x22py(p0)或x22py(p0)且p3，抛物线标准方程为x26y或x26y.一点通 求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p，写出方程(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)3(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x2，则拋物线的方程是( )5Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：由准线方程x2，可知拋物线为焦点在x轴正半轴上的标准方程，同时得p4，所以标准方程为y22px8x.答案：B4抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(5,2)到焦点的距离是56，则抛物线的方程是_解析：因为点(5,2)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口5向左，设其方程为y22px，把(5,2)代入得p2，故所求方程为y24x.5答案：y24x5已知焦点在x轴上，且抛物线上横坐标为 3 的点A到焦点的距离为 5，求抛物线的标准方程解：由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，其准线为x .p 2A到焦点的距离为 5，A到准线的距离也是 5，即 35，解得p4.(p 2)故所求的抛物线标准方程为y28x.抛物线标准方程的实际应用例 3 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由思路点拨 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断精解详析 建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，当x3 时，y3，即点(3，3)在抛物线上代入得 2p3，故抛物线方程为x23y.已知集装箱的宽为 3 m，当x 时，y ，而桥高为 5 m，3 23 46所以 5 4 4.3 41 4故卡车可通过此隧道一点通 1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系这样可使得方程的形式更为简单，便于计算6某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶 6 m 时，水面宽 10 m，抛物线的方程可能是( )Ax2y Bx2y25 625 12Cx2y Dx2y36 525 24解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x22py(p0)，则P(5，6)在抛物线上252p(6)，p.25 12抛物线方程为x2y.25 6答案：A7某抛物线形拱桥跨度是 20 米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.每 4 米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.4 257|AB|43.84，即最长支柱的长为 3.84 米4 251确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)2求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论对应课时跟踪训练七1抛物线yx2的焦点坐标是( )1 8A(0，4) B(0，2)C( ，0) D(，0)1 21 32解析：抛物线方程可化成x28y，所以焦点坐标为(0，2)，故选 B.答案：B2若抛物线y22px的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则p的值为( )x2 6y2 2A4 B2C6 D8解析：a26，b22，c2a2b24，c2.椭圆的右焦点为(2,0)， 2，p4.p 2答案：A3抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为( )A. B1 81 88C8 D8解析：由yax2，得x2y，2，a .1 a1 4a1 8答案：B4若动圆与圆(x2)2y21 外切，又与直线x10 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )Ay28x By28xCy24x Dy24x解析：设动圆的半径为r，圆心O(x，y)，且O到点(2,0)的距离为r1，O到直线x1 的距离为r，所以O到(2,0)的距离与到直线x2 的距离相等，由抛物线的定义知y28x.答案：A5抛物线y22px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为_解析：因为y22px过点M(2,2)，于是p1，所以点M到抛物线准线的距离为2 .p 25 2答案：5 26已知点P(6，y)在抛物线y22px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于_解析：抛物线y22px(p0)的准线为x ，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以p 2P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以p4，故焦点F到抛物线准p 2线的距离等于 4.答案：47由条件解下列各题的标准方程及准线方程(1)求焦点在直线 2xy50 上的抛物线的标准方程及其准线方程(2)已知抛物线方程为 2x25y0，求其焦点和准线方程(3)已知抛物线方程为ymx2(m0)，求其焦点坐标及准线方程解：(1)直线 2xy50 与坐标轴的交点为，(0,5)，以此两点为焦点的抛(5 2，0)物线方程分别为y210x，x220y.其对应准线方程分别是x ，y5.5 29(2)抛物线方程即为x2y，焦点为，准线方程：y .5 2(0，5 8)5 8(3)抛物线方程即为x2y(m0)，焦点为，准线方程y.1 m(0，1 4m)1 4m8.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于 5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x ，p 2于是，4 5，p2.p 2所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF .4 3因为MNFA，所以kMN .3 4则FA的方程为y (x1)，4 3MN的方程为yx2.3 4解方程组Error!得Error!所以N.(8 5，4 5)1022 抛物线的简单性质对应学生用书P25太阳能是最清洁的能源太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题 1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题 2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点问题 3：抛物线有对称中心吗？提示：没有问题 4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1 条抛物线的简单性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图像焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)准线xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0