第一节 导数的概念一、导数概念的引例 二、导数的概念与几何意义 三、可导与连续的关系 四、小结一、导数概念的引例例1 变速直线运动的速度 -播放例2 平面曲线的切线斜率 割线的极限位置切线？如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位 置MT,直线MT就称为 曲线C在点M处的切线 .极限位置即二、导数的概念与几何意义1.导数的概念 定义1其它形式:即关于导数的说明：注意:右导数:左导数:单侧导数定义2定理1 函数在点 处可导 左导 数和右导数都存在且相等. 步骤:2.用定义求导数例3解更一般地,例如,例4解例5解例6解例7解3.导数的几何意义切线方程为:法线方程为:解 因 ，由导数几何意义,曲线在 的切线与法线的斜率分别为于是所求的切线方程为 ，即 法线方程为 ， 即 例8 求曲线 在点 处的切线和法 线方程三、可导与连续的关系证定理2 如果函数 在点 处可导 ，则 在点 处连续 注意：定理2的逆命题不成立. 例9因为 则而证1. 导数的实质:增量比的极限;3. 导数的几何意义:切线的斜率;5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导 。4. 求导数最基本的方法:由定义求导数;四、小结例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率 切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置播放例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2 平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的导数 四、初等函数的导数 五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数设函数 与 在点 处均可 导，则它们的和、差、积、商（当分母不为 零时）在点 处也可导，且有以下法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1(1)求增量:给自变量一个增量 ，则 证(1)、(2)略.证(3)令(2)算比值: (3)取极限:因在点 处可导，则在该 点处必连续，故当 时, ， . 又当 时，所以，特别地，若 则可得公式定理推广：例1 设,求解例2 设 ,求 解 用类似地方法，可得 解例3 求 的导数即例4 求 的导数 用类似地方法，可得 即解定理2即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）或或二、复合函数的求导法则证如三层复合， 或或推广 对于多次复合的函数，其求导公式 类似，解 可看作是由 复合而成的，因此例5 设 ，求 例6 设 ，求 解三、反函数的求导法则如果单调连续函数 在某区间 内可导,且 ，则它的反函数 在对 应的区间内可导，且有定理3即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.因 是 的反函数，故可将 函数 中的 看作中间变量，从而组成复 合函数 上式两边对 求导， 应用复合函数的链导法，得证或因此是 的反函数，而在区间 内单调且可导，且 ，因此在对应的区间内，有求函数 的导数 例7解即同理可得例8求函数 的导数 是 的反函数，而 在区间 内单调且可导，且,因此在对应的区间上，有解即同理可得1.常数和基本初等函数的导数公式四、初等函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu=可导，则（1） vuvu= )(, （2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(, （4）)0()(2-=vvvuvu vu.( 是常数)3.复合函数的求导法则注意：(1)利用上述公式及法则初等函数 求导问题可完全解决. (2)初等函数的导数仍为初等函数.例9 设 ，求 解 所以 例10解解 方法1函数 可以写成所以例11求将函数 两边取自然对数，即 两边对 求导，注意左端的 是 的函数，由链导法，有因此 方法2方法2称为对数求导法，一般地对于函数（称为幂指函数）对数求导法除适用于幂指函数外，还适 用于多个因式连乘的函数解 等式两边取对数得例12五、隐函数和由参数方程确定函数得导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何 求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.1.隐函数的导数例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点 .2.由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例6解所求切线方程为于是所求的切线方程为 例15 求曲线 在 处的切线方程解曲线上对应 的点为 ，曲线在处的切线斜率为六、高阶导数如果函数 的导函数 仍是 的可导函数，就称 的导数为函数 的二阶导数,记作 或 即或类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数 , 而加速度 是速度对时间的导数,是位置 函数对时间的二阶导数,即 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 .二阶导数有明显的物理意义:考虑物体 的直线运动，设位置函数为则速度为如 阶导数 例16 设 ，求 解 特别地，根据高阶导数的定义，求函数的高阶导 数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的 导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于 高阶导数的计算,例17 求 次多项式函数 的 阶导数（ 是正整数） 解例18 设 ，求 解 即 同理可得 第三节 微 分一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似法则中的应用例1 设有一个边长为 的正方形金属 片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增 加了多少？正方形金属片的面积 与边长 的函数关系为 由图可以看出，解一、微分的概念受热后，当 边长由 伸长到 时， 面积 相应的增量为从上式可以看出, 可分成两部分:（1）（ 2)（2）是 时，与 高阶的无 穷小；的线性函数 , 是 时， 与 同阶的无穷小；(1)这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比 (1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用 （2)作为 的近似值： 定义1 设函数 在点 的某邻 域内有定义，如果函数 在点 处的增 量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作或 于是由此引进函数微分的概念：导数一种比值的极限，即函数增量 与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的 极限.微分函数增量的近似值，即自变量 取得微小增量时函数值增量的近似值.那么，导数与微分之间存在什么样的联 系呢？ 可以证明，函数 在点 处可微 函数 在点 处可导；并且有于是自变量的微分：通常把自变量的增量 记为 ，称为自变量的微分.于是可微函数：如果函数 在区间 内 每一点都可微，则称该函数在 内可微， 或称函数 是在 内的可微函数此 时， 函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即由此有，因此，通常把函数的导数与微分的运算统 称为微分法在高等数学中，把研究导数和 微分的有关内容称为微分学因此，微分与导数紧密相关，求出了导 数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，例2 求函数 当 ， 时的微分 解 函数在任意点的微分于是例3 半径为 的圆的面积为 当半 径增大 时，求圆面积的增量与微分面积的微分为面积的增量解当自变量 有增量 时， 切线 的纵坐标相应地有增 量二、微分的几何意义过曲线 上一 点作切线 ，设 的 倾角为 ，则当 有增量 时，曲线 在对应点处的切线的纵坐标的增量 因此，微分 几何上表示:用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量.三、微分的运算法则1基本初等函数的微分公式2函数的和、差、积、商的微分运算法则设函数 ， 均可微，则（ 为常数）3复合函数的微分法则 而于是设函数 都是可导函数， 则复合函数 的微分为 设 ，求 与 例4解求由方程 所确定的隐 函数 的导数 与微分 .例5对方程两边求导数，得 解导数为微分为四、微分在近似计算中的应用这些公式都可用来求函数 的近似值. 由微分的定义可知，当 很小时, (1)或(2)若 则(3 ) 当 时，有(4)应用 可以推得一些常用 的近似公式,当 很小时,有 另外，计算 的近似值. 例6设 取 ， ，解于是，得即则