11.31.3 函函数数的的基基本本性性质质13.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性预习课本 P2729，思考并完成以下问题(1)增函数、减函数的概念是什么？(2)如何表示函数的单调区间？(3)函数的单调性和单调区间有什么关系？新知初探1定义域为I的函数f(x)的增减性点睛 定义中的x1，x2有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1f(x2)的是( )Af(x)x2 Bf(x)1 xCf(x)|x| Df(x)2x1答案：B4函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案：(，1例 1 求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数1 x2证明 对于任意的x1，x2(，0)，且x10，x1x20.2 1 2 2f (x1)f (x2)0，x2x10，x x0.2 1 2 2f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数1 x2利用定义证明函数单调性的 4 个步骤活学活用1证明函数f(x)x 在(0,1)上是减函数1 x证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x10，即f(x1)f(x2)，x1x21x1x2 x1x2f(x)x 在(0,1)上是减函数.1 x求函数的单调区间求函数的单调区间4例 2 画出函数yx22|x|1 的图象并写出函数的单调区间解 yError!即yError!函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为(1,0)，(1，)求函数单调区间的 2 种方法法一：定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解法二：图象法即先画出图象，根据图象求单调区间 活学活用2如图所示为函数yf(x)，x4,7的图象，则函数f(x)的单调递增区间是_解析：由图象知单调递增区间为1.5,3和5,6答案：1.5,3和5,63求函数f(x)的单调减区间1 x1解：函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，1 x1设x1，x2(，1)，且x10，x110，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，).题点一：利用单调性比较大小1若函数f(x)在区间(，)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )Af(a)f(2a) Bf(a2)a2，所以f(a21)f(5x6)，求实数x的取值范围解：函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，解得x1.函数f(x)在(1，)上是增函数，f(x1)f(x2)x1 a x1a 2(x2a x2a 2)(x1x2)0，即ax1x2.a x1x211，x1x2 Da”或“f(x2)又1f(a21) 答案：7已知函数f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足f(x)0，又由x121，则f(3)0.b x1b x2bx1x2 x1x2900，b2a1，即ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的xa xb单调性解：在定义域内任取x1，x2，且使x1b0，x10.只有当x1x11，x1x21，x1x210，故(x1x2)0，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)是区间2,6上的减函数2 x1因此，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在2 x1x2 时取得最大值，最大值是 2，在x6 时取得最小值，最小值是 0.4.例 3 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)Error!其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解 (1)设月产量为x台，则总成本为 20 000100x，从而f(x)Error!(2)当 0x400 时，f(x) (x300)225 000，1 2当x300 时，f(x)max25 000.当x400 时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)4 时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当 2a4 时，f(x)minf(a)2a2.f(x)minError!一题多变1变设问在本例条件下，求f(x)的最大值解：函数图象的对称轴是xa，当a3 时，f(x)maxf(4)188a，当a3 时，f(x)maxf(2)64a.f(x)maxError!2变设问在本例条件下，若f(x)的最小值为 2，求a的值解：由本例解析知f(x)minError!当a2 时，64a2，a1；当 2a4 时，2a22，a0(舍去)；当a4 时，若 188a4，a (舍去)7 4a的值为 1.3变条件，变设问本例条件变为，若f(x)x22ax2，当x2,4时，f(x)二次函数的最大值，最小值二次函数的最大值，最小值15a恒成立，求实数a的取值范围解：在2,4内，f(x)a恒成立，即ax22ax2 在2,4内恒成立，即af(x)max，x2,4由本例探究 1 知f(x)maxError!(1)当a3 时，a188a，解得a2，此时有 2a3.(2)当a3 时，a64a，解得a ，此时有a3.6 5综上有实数a的取值范围是2，)求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图(2)在图象上标出定义域的位置(3)观察单调性写出最值 层级一 学业水平达标1.函数yf(x)(2x2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )Af(2)，f(2)Bf，f(1)(1 2)Cf，f(1 2)(3 2)Df，f(0)(1 2)解析：选 C 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x 时，有最小值3 2f；当x 时，有最大值f.(3 2)1 2(1 2)2函数yx22x2 在区间2,3上的最大值、最小值分别是( )A10,5 B10,1C5,1 D以上都不对解析：选 B 因为yx22x2(x1)21，且x2,3，所以当x1 时，ymin1，当x2 时，ymax(21)2110.故选 B.163函数y(x2)在区间0,5上的最大值、最小值分别是( )3 x2A. ，0 B. ，03 73 2C. ，D最小值为 ，无最大值3 23 71 4解析：选 C 因为函数y在区间0,5上单调递减，所以当x0 时，ymax ，当3 x23 2x5 时，ymin .故选 C.3 74若函数yax1 在1,2上的最大值与最小值的差为 2，则实数a的值是( )A2 B2C2 或2 D0解析：选 C 由题意知a0，当a0 时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0，x110.所以f(x2)f(x1)2 时，f(x)在0,2上单调递减，在2，a上单调递增，因此其最大值为f(0)和f(a)中的较大者，而f(a)f(0)3a212a.当 24 时，f(x)maxf(a)3a212a5，f(x)minf(2)7.2013.2 奇偶性预习课本 P3336，思考并完成以下问题(1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？(2)奇、偶函数的定义域有什么特点？(3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？新知初探函数奇偶性的概念偶函数奇函数对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 条件 f(x)f(x)f(x)f(x)定义结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称点睛 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性小试身手1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)偶函数的图象一定与y轴相交( )(2)奇函数的图象一定通过原点( )(3)函数f(x)x2，x1,2是偶函数( )(4)若f(x)是定义在 R 上的奇函数，则f(x)f(x)0.( )答案：(1) (2) (3) (4)2函数yf(x)，x1，a(a1)是奇函数，则a等于( )21A1 B0C1 D无法确定答案：C3下列函数是偶函数的是( )Ayx By2x23Cy Dyx2，x0,11x答案：B4已知函数f(x)是定义域为 R 的偶函数，若f(2)4，则f(2)_.答案：4例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x) ；x211x2(3)f(x)；x x1(4)f(x)Error!解 (1)函数f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0 时，x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数判断函数奇偶性的方法判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性22(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步验证f(x)f(x)或f(x)f(x)下结论若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图象法：若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 活学活用1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x2(x22)；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).1x2x解：(1)xR，关于原点对称，又f(x)(x)2(x)2