1第三讲 投资组合选择，Merton问题3.1 均值-方差模型回顾. 3.2 期望效用理论. 3.3 期望效用最大化模型. 3.4 Merton问题23.1 均值-方差模型回顾市场假设 市场上共有n个风险资产，第i个资产的当前价格 ， 未来价格为 ，则其总回报率为总回报率向量 r=(r1,r2,rn) 的期望和协方差矩阵为资产未来价格向量 的期望和协方差为其中33.1 均值-方差模型回顾Markowitz均值-方差模型 Markowitz均值方差模型为其中 为预先指定的投资组合的期望收 益率。表示以投资额比例计的投资组合。43.1 均值-方差模型回顾Markowitz均值-方差模型（继续） 也可以表示为其中 为预先指定的投资组合的期望期末财富水平， W为投资者的初始财富水平。表示以持有股票数计的投资组合。53.1 均值-方差模型回顾拉格朗日乘子法 拉格朗日函数最优化条件：其中63.1 均值-方差模型回顾73.1 均值-方差模型回顾均值-方差模型（另一表示）其中称为均值与方差间的权重系数，是投资者的风险 态度的表现。 若R满足称U为优先序的数值表示。若优先序满足以上两条性质和两条公理，则存在（仿 射变化）唯一的数值表示，u(.)称为效用函数。133.2 期望效用理论Von Neumann-Morgenstern表示（继续） 仿射变化唯一是指u的任何仿射变化仍为数值表示。称为u的等价效用函数。单调性（monotone）数值表示满足单调性当且仅当u为严格单调增函数。143.2 期望效用理论St. Petersburg Paradox（Nicholas Bernoulli 1713） 这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始 掷硬币，直至第一个正面出现时为止。总的掷币次数n 决定参加者的报酬，计算报酬r的公式为次数 概率 报酬 概率报酬1 1/2 2 12 1/4 4 1. . . .n (1/2)n 2n 1 153.2 期望效用理论St. Petersburg Paradox（继续） 期望报酬为+。但是没有人会愿意支付+来购买门 票，甚至不愿支付较大的金额购买门票。称为圣彼得 堡悖论。 Daniel Bernoulli提出使用边际效用递减（即效用函数 的一阶导数u为单调减函数，效用函数为凹函数）来 解决此悖论。他指出，参加者赋予所有报酬的每一元 不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值 是递减的。 若u(w)=log(w)，则163.2 期望效用理论173.2 期望效用理论风险厌恶（risk aversion） 假设投资者面对一个确定性投资选择x和一个不确定 投资选择y，若两个选择有着相同的期望值(x=Ey)， 那么风险厌恶的投资者会选择确定性投资x。 注意到风险厌恶的投资者的效用函数u为凹函数。风险厌恶系数（risk aversion coefficient） Arrow-Pratt absolution risk aversion coefficient183.2 期望效用理论常见风险厌恶效用函数 Exponential（Constant Absolute Risk Aversion utility function）LogarithmicPowerQuadratic193.2 期望效用理论常见风险厌恶效用函数（继续） HARA（Hyperbolic absolute risk aversion）utility function 203.2 期望效用理论Certainty equivalent 随机变量x的Certainty equivalent C满足当u(.)为凹函数时，C Ex。u(x1)u(x2)u(C)213.2 期望效用理论例子 3.2 假设某人的效用函数为二次效用函数，此人面对一个投资机会，以50%概率获得200元，50% 概率获得300元。223.2 期望效用理论如何得到投资者的效用函数？ 1）首先指定投资者效用函数的形状，如指数型，对 数型等，然后对其中的参数进行估计。2）直接估计：选择两个固定点A和B，并假设u(A)=A ，u(B)=B；构造一个以概率p获得A，概率1p获得B 的彩票(lottery) x；向投资者询问其愿意用来交换此彩 票的财富水平C。通过改变p，我们得到C与Ex的函数关系；进一步得 到效用函数。233.2 期望效用理论243.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型（EUT模型） 期望效用最大化模型为其最优投资组合*必满足253.3 期望效用最大化模型拉格朗日乘子法 拉格朗日函数最优化条件：其中263.3 期望效用最大化模型当一个资产为无风险资产时 假设第一个资产为无风险资产，其回报率为 有其他n1个风险资产的回报率满足273.3 期望效用最大化模型例子3.3 某投资者考虑参与投资拍摄一部电影。如果电影票房 反映良好（概率为0.3），其将获得3倍的回报；如果 票房反映平平（概率为0.4），其将收回初始投资；如 果票房失败（概率为0.3），其将损失全部初始投资。 与此同时，投资者可以选择投资某无风险资产，获得 1.2的总回报率。如果投资者的效用函数为对数函数， u(x)=ln(x)，他是否会选择参与投资电影？如果参与， 他会投资多少？（假设投资者的初始财富为W）283.3 期望效用最大化模型例子3.3（继续） 解答：以1表示投资在电影上的金额，2表示投资在无 风险资产上的金额。投资者面临的投资组合问题为求解方程组，293.3 期望效用最大化模型Allais Paradox Lotteries: 你的选择是什么？选择结果是否违背期望效用理论？303.4 Merton问题连续时间市场假设 市场上共有n个风险资产，第i个资产的价格满足Merton问题其中c(t)为投资者在t时刻的消费，u(c(t),t)和H(W(T)分 别表示消费和期末财富带来的效用。313.4 Merton问题我们有后面两项为投资组合的现金流入，故若令 则323.4 Merton问题HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation）33第四讲 股票指数跟踪4.1 股票指数简介. 4.2 简单的股票指数跟踪模型. 4.3 考虑交易费用的指数跟踪模型.344.1股票指数简介股票指数 反映整个股票市场上各种股票市场价格的总体水平及 其变动情况的指标。它是选取有代表性的一组股票，把他们的价格进行加 权平均，通过一定的计算得到。经常作为评价投资组合（例如：各种基金）投资表现 的基准指标。（benchmark） 354.1股票指数简介股票指数（继续） 编制股票指数，通常以某年某月为基础，以这个基期 的股票价格作为100，用以后各时期的股票价格和基期 价格比较，计算出升降的百分比，就是该时期的股票 指数。 全球指数： MSCI World，S total return; net total return.374.1股票指数简介股票指数加权方法 价格加权： Dow Jones Industrial Average, NYSE ARCA Tech 100 Index股票总市值加权：Hang Seng Index股票发行量加权：TAIEX浮动调整加权。384.1股票指数简介主动投资（active investing） 投资者选择特定的投资策略，以使得投资组合的表现 超过某些基准指数。被动投资（passive investing） 投资者按照预先制定的投资策略进行投资，不考虑任 何涉及股票回报率的预测。构造投资组合复制股票指数。个人投资者可以选择投 资股指基金（index fund）394.1股票指数简介股指基金（index fund） 复制某个金融市场股票指数的变动。最简单的办法：按照股指计算中的比例持有股指的全 部股票。（Too many stocks）指数与基金的差别称为跟踪误差（tracking error）404.1股票指数简介股指基金（继续） 优点： 低成本； (0.15%0.97%)简单化；低换手率；投资透明。缺点： 跟踪误差；不能击败被跟踪指 数；指数构成改变会导 致基金回报降低。414.2 简单的股票指数跟踪模型基本变量YT1：股票指数回报率向量；XTn：股票回报率矩阵； n：股票数量； T：回报率的观测数量； n1：投资组合向量； XY：投资组合回报率与股票指数回报率的差别向 量。线性约束条件：A b 其中Akn, bn1为相应维数的 矩阵和向量。424.2 简单的股票指数跟踪模型跟踪误差 Quadratic TE：Mean absolute deviations（MAD）：MinMax：434.2 简单的股票指数跟踪模型跟踪误差（继续） Mean absolute downside deviations（MADD）：downside MinMax（DMinMax）：444.2 简单的股票指数跟踪模型线性规划表示 MinMax Problem：Mean absolute deviations problem：454.2 简单的股票指数跟踪模型线性规划表示（继续） MADD Problem：464.2 简单的股票指数跟踪模型474.2 简单的股票指数跟踪模型484.2 简单的股票指数跟踪模型494.2 简单的股票指数跟踪模型504.2 简单的股票指数跟踪模型514.2 简单的股票指数跟踪模型控制投资股票数量 很多时候投资者会控制投资组合中股票的数量。其中函数(i)为此问题为离散优化问题。524.2 简单的股票指数跟踪模型模型的逼近算法 考虑如下的模型一：其中函数h(i)为534.2 简单的股票指数跟踪模型模型的逼近算法（继续） 考虑如下的模型二：其中函数 f(i;k)为544.2 简单的股票指数跟踪模型554.3 考虑交易费用的指数跟踪模型564.3 考虑交易费用的指数跟踪模型交易费用其中 EC为explicit cost, SP为spread cost,MC为market impact cost,OC为opportunity cost.574.3 考虑交易费用的指数跟踪模型交易费用（继续） 市场冲击成本可以表示为执行时间满足 或者其中asset price risk指将股票卖出时股价不确定性带来 的风险，time-to-clear risk指将股票存货全部出售所需 的时间的不确定性带来的风险，为流动性风险的市场 价格。584.3 考虑交易费用的指数跟踪模型市场冲击成本最小化模型B为基准指标投资组合, C为当前使用的跟踪投资组合, T为将要进行交易的投资组合, N= C+ T为交易后新的跟踪投资组合, Wadmis为可行投资组合的集合， TE(N, B)为新跟踪投资组合的跟踪误差， MC(T)为交易投资组合的市场冲击成本， UTE为跟踪误差的上限。594.3 考虑交易费用的指数跟踪模型市场冲击成本最小化模型（继续）604.3 考虑交易费用的指数跟踪模型