钢琴销售的存贮策略 问题 ：象钢琴这样的奢侈品销售量很小，商店里一般不会有多大的存贮量让它积压资金。现一家商店根据以往经验，平均每周售出1架钢琴。经理制定的策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，每周的平均销售量是多少？模型假设：1钢琴每周需求量服从Poisson分布，均值为每周1架。2存贮策略是：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则不订购。3以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。4在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。一、计算机模拟该问题可直接采用计算机模拟。模拟步骤：%计机模拟钢琴销售策略 n=10000; lp=1; %Possion分参 D=poissrnd(lp,n,1); %模拟每周的需求量S=zeros(n+1,1); %存储每周一的存贮量 num=0; %记录失去销售机会的次数 cons=0;%记录销售总量 S(1)=3; %第一周周一存贮量for i=1:n if(D(i)S(i) %当需求量小于过存贮量cons=cons+D(i); %统计每周销售量 S(i+1)=S(i)-D(i);%计算下周一存贮量 elseif(D(i)=S(i) %当需求量等于存贮量cons=cons+S(i);S(i+1)=3;else%当需求量超过存贮量num=num+1;%失去销售机会cons=cons+S(i); %统计每周销售量S(i+1)=3;%下周一存贮量 end end prob=num/n; %计算失去销售机会的频率 aver=cons/n;%计算平均每周销售量 fprintf(失去销售机会的频率%6.4fn,prob); fprintf(平均每周销售量%6.4fn,aver); %附加计算如下数值 %统计存贮分别为1,2,3的频率 s1=0; s2=0; s3=0; for i=1:n if (S(i)=1) s1=s1+1; elseif (S(i)=2) s2=s2+1; else s3=s3+1; end end p1=s1/n; p2=s2/n; p3=s3/n; fprintf(存贮为1的频率%6.4f,存贮为2的频率%6.4f,存贮为3的频率%6.4fn,p1,p2,p3);%转移矩阵 ee=2.71828; P=1/ee,0,1-1/ee;1/ee,1/ee,1-2/ee;1/(2*ee),1/ee,1-3/(2*ee); %由转移矩阵n次方计算稳定态 PP=P100; fprintf(存贮为1的概率%6.4f,存贮为2的概率%6.4f,存贮为3的概率 %6.4fn,PP(1,1),PP(1,2),PP(1,3);%由初始值迭代计算稳定态 x=1,0,0; for i=1:100x=x*P; end fprintf(存贮为1的概率%6.4f,存贮为2的概率%6.4f,存贮为3的概率%6.4f,x(1),x(2),x(3);模拟结果失去销售机会的频率0.1079平均每周销售量0.8676存贮为1的频率0.2845,存贮为2的频率0.2641,存贮为3的频率0.4514存贮为1的概率0.2847,存贮为2的概率0.2631,存贮为3的概率0.4521存贮为1的概率0.2847,存贮为2的概率0.2631,存贮为3的概率0.45211、稳定状态概率的计算转移概率的计算：则可得马尔可夫方程：其中转移矩阵即稳定状态下：2、计算失去销售机会的概率及每周平均销售量2.1)计算失去销售机会的概率由全概率公式，失去销售机会的概率由于需求与存贮量独立，故2.2) 每周平均销售量设每周销售量为则销售期望为3、敏感性分析则可得马尔可夫方程：其中转移矩阵失去销售机会的概率计算结果见表1从分析结果看出，当市场需求增长约10%时，失去销售机会的概率增加约 15%。问题扩展1：若经理制定的策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为0或1时，才订购3架供下周销售；否则不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，每周的平均销售量是多少？模型假设：1. 钢琴每周需求量服从Poisson分布，均值为每周1架。2. 存贮策略是：当周末库存量为0或1时，订购3架，周初到货；否则不订购。3. 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。4. 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。一、计算机模拟该问题可直接采用计算机模拟。模拟步骤：模拟程序：%计机模拟钢琴销售策略 n=50000; lp=1; %Possion分参 D=poissrnd(lp,n,1); %模拟每周的需求量S=zeros(n+1,1); %存储每周一的存贮量 Z=zeros(n,1); %存储每周末的存贮量 num=0; %记录失去销售机会的次数cons=0;%记录销售总量 S(1)=3; %第一周周一存贮量for i=1:n if(D(i)=S(i) %当需求量不超过存贮量cons=cons+D(i); %统计每周销售量 Z(i)=S(i)-D(i); % 周末库存量 else%当需求量超过存贮量num=num+1;%失去销售机会cons=cons+S(i); %统计每周销售量Z(i)=0; % 周末库存量 end if(Z(i)=1) S(i+1)=3; else S(i+1)=Z(i); %下周周一存贮量 end end prob=num/n; %计算失去销售机会的频率 aver=cons/n;%计算平均每周销售量 fprintf(失去销售机会的频率%6.4fn,prob); fprintf(平均每周销售量%6.4fn,aver);%附加计算如下数值%统计存贮分别为2,3的频率s2=0; s3=0; for i=1:n if (S(i)=2) s2=s2+1; elseif (S(i)=3) s3=s3+1; end end p2=s2/n; p3=s3/n; fprintf(存贮为2的频率%6.4f,存贮为3的频率 %6.4fn,p2,p3); %转移矩阵 lp=1.0; P=exp(-lp),1-exp(-lp); lp*exp(-lp),1-lp*exp(-lp); %由转移矩阵n次方计算稳定态 PP=P100; fprintf(存贮为2的概率%6.4f,存贮为3的概率 %6.4fn,PP(1,1),PP(1,2); %由初始值迭代计算稳定态 x=0,1; for i=1:100x=x*P; end fprintf(存贮为2的概率%6.4f,存贮为3的概率 %6.4fn,x(1),x(2);%理论计算稳定态 w(1)=lp*exp(-lp)/(1-exp(-lp)+lp*exp(-lp); w(2)=(1-exp(-lp)/(1-exp(-lp)+lp*exp(-lp);pp=w(1)*(1-(1+lp+lp2/2)*exp(-lp)+w(2)*(1- (1+lp+lp2/2+lp3/6)*exp(-lp); fprintf(失去销售机会的频率%6.4fn,pp);px0=exp(-lp); %x=0的概率 px1=lp*exp(-lp); %x=1的概率 px2=w(1)*(1-(1+lp)*exp(-lp)+w(2)*lp2*exp( -lp)/2; %x=2的概率 px3=w(2)*(1-(1+lp+lp2/2)*exp(-lp); %x=3 的概率EX=1*px1+2*px2+3*px3; %数学期望 fprintf(平均每周销售量%6.4fn,EX);计算结果：失去销售机会的频率0.0400平均每周销售量0.9402存贮为2的频率0.3680,存贮为3的频率0.6320存贮为2的概率0.3679,存贮为3的概率0.6321存贮为2的概率0.3679,存贮为3的概率0.6321失去销售机会的频率0.0415平均每周销售量0.9471二、 理论计算1. 稳定态概率的计算转移概率的计算：则可得马尔可夫方程：其中转移矩阵2. 失去销售机会的概率3每周平均销售量计算设每周销售量为则销售期望为4. 敏感性分析从分析结果看出，当市场需求增长约10%时，失去销售机会的概率增加约25%，平均每周销售量的数学期望增长10%。 问题扩展2：若经理制定的策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，订购量为本周销售量加2架供下周销售；否则不订购。估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，每周的平均销售量是多少？模型假设：1. 钢琴每周需求量服从Poisson分布，均值为每周1架。2. 存贮策略是：当周末库存量为0时，存贮本周销售量加2架，周初到货；否则不订购。3. 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。4. 在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。一、计算机模拟该问题可直接采用计算机模拟。模拟步骤：模拟程序： %计机模拟钢琴销售策略 n=50000; %模拟次数 lp=1; %Poisson分参 D=poissrnd(lp,n,1); %模拟每周的需求量 S=zeros(n+1,1); %存储每周一的存贮量 num=0; %记录失去销售机会的次数 cons=0;%记录销售总量 S(1)=3; %第一周周一存贮量for i=1:n if(D(i)S(i) %当需求量小于存贮量cons=cons+D(i); %统计每周销售量 S(i+1)=S(i)-D(i);%计算下周一存贮量 elseif(D(i)=S(i) %当需求量等于存贮量cons=cons+S(i);S(i+1)=D(i)+2; else%当需求量超过存贮量num=num+1;%失去销售机会cons=cons+S(i); %统计每周销售量S(i+1)=D(i)+2;%下周一存贮量 end end prob=num/n; %计算失去销售机会的频率 aver=cons/n;%计算平均每周销售量 fprintf(失去销售机会的频率%6.4fn,prob);fprintf(平均每周销售量%6.4fn,aver); %附加计算如下数值 %统计存贮分别为1,2,3,4,5,.的频率 k=max(S);%最大存贮量 ss=zeros(k,1);%存贮频数 pp=zeros(k,1); %存贮频率for i=1:nfor j=1:k if (S(i)=j) ss(j)=ss(j)+1; end %统计频数end end for i=1:kpp(i)=ss(i)/n; end for i=1:k fprintf(存贮为%d的频率%6.4fn,i,pp(i); end%理论计算 %求转移矩阵P,取kn=10; kn=10; P=zeros(kn,kn);for ik=1:knfor j=ik-1:-1:0 P(ik,ik-j)=poisspdf(j,lp); endif(ik+2)=kn) P(ik,ik+1)=0; P(ik,ik+2)=1-poisscdf(ik-1,lp);end; end PP=P100; w=PP(1,:); %稳态概率 %计算损失概率 probl=0; for i=1:knprobl=probl+w(i)*(1-poisscdf(i,lp); end fprintf(失去销售机会的概率%6.4fn,probl);%计算销售期望 px=zeros(kn,1); EX=0; for m=1:knpx(m)=w(m)*(1-poisscdf(m- 1,lp)+sum(w(m+1:kn)*poisspdf(m,lp);%计算 概率EX=EX+m*px(m);%求数学期望 end