一、空间曲线及其方程二、空间曲线在坐标面上的投影三、小结 思考题 第六节 空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程空间曲线的一般方程曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：1. 曲线(curve)的一般方程例1 方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例2 方程组 表示怎样的曲线 ？解上半球面,圆柱面,交线如图.空间曲线的参数方程2. 曲线的参数方程动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程取时间t为参数，解螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比即上升的高度螺距消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：二、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线,面上的投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线例4 求曲线 在坐标面上的投影.解（1）消去变量z后得在 面上的投影为所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面 上，截线方程为解如图,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面例6解半球面和锥面的交线为一个圆,空间曲线的一般方程、参数方程三、小结空间曲线在坐标面上的投影思考题思考题解答交线方程为在 面上的投影为练 习 题练习题答案 系统估计方法主要包括三阶段最小二乘法 (3SLS, Three Stage Least Squares)和完全信息 最大或然法(FIML, Full Information Maximum Likelihood)。 本书只介绍几种简单的、常用的单方程估计 方法。 在大量的联立方程模型的应用研究中，仍然 广泛应用普遍最小二乘法进行模型的估计。 二、狭义的工具变量法 （IV，Instrumental Variables）方法思路 “狭义的工具变量法” 与“广义的工具变量法 ” 解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释 变量问题。 方法原理与单方程模型的IV方法相同。 模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得 IV方法的应用成为可能。工具变量的选取 对于联立方程模型的每一个结构方程，例如第1个方程，可以写成如下形式： 内生解释变量（g1-1）个，先决解释变量k1个。 如果方程是恰好识别的，有（g1-1）=（k- k1）。 可以选择（k- k1）个方程没有包含的先决变量作 为（g1-1）个内生解释变量的工具变量。 IV参数估计量 方程的矩阵表示为: 选择方程中没有包含的先决变量X0*作为包含的 内生解释变量Y0的工具变量，得到参数估计量为：讨论 该估计量与OLS估计量的区别是什么？ 该估计量具有什么统计特性？ （k- k1）工具变量与（g1-1）个内生解释变量的 对应关系是否影响参数估计结果？为什么？ IV是否利用了模型系统中方程之间相关性信息？ 对于过度识别的方程，可否应用IV ？为什么？ 对于过度识别的方程，可否应用GMM ？为什么？三、间接最小二乘法 (ILS, Indirect Least Squares)方法思路 联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量 ，不能直接采用OLS估计其参数。但是对于简化式 方程，可以采用OLS直接估计其参数。 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化 式方程采用OLS估计简化式参数，得到简化式参数 估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构 式参数的估计量。 间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构 方程的参数估计，因为只有恰好识别的结 构方程，才能从参数关系体系中得到唯一 一组结构参数的估计量。 一般间接最小二乘法的估计过程 用OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量 ，代入该参数关系体系，先由第2组方程计算得到 内生解释变量的参数，然后再代入第1组方程计算得到先决解释变量的参数。于是得到了结构方程的 所有结构参数估计量。 间接最小二乘法也是一种工具变量方法 ILS等价于一种工具变量方法：依次选择X作为（ Y0,X0）的工具变量。 数学证明见计量经济学方法与应用（李子 奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第126 128页。 估计结果为：四、二阶段最小二乘法 (2SLS, Two Stage Least Squares)2SLS是应用最多的单方程估计方法 IV和ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识 别的结构方程的估计。 在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方 程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识 别的。为什么？ 2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又 适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法 。 2SLS的方法步骤 第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLS 。得到： 用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新的模型： 第二阶段：对该模型应用OLS估计，得到的参数估计量即为原结构方程参数的二阶段最小 二乘估计量。 二阶段最小二乘法也是一种工具变量方法 如果用Y0的估计量作为工具变量，按照工具变量 方法的估计过程，应该得到如下的结构参数估计 量： 可以严格证明两组参数估计量是完全等价 的，所以可以把2SLS也看成为一种工具变 量方法。 证明过程见计量经济学方法与应用 （李子奈编著，清华大学出版社，1992年3 月）第130131页。 五、三种方法的等价性证明三种单方程估计方法得到的参数估计量 IV与ILS估计量的等价性 在恰好识别情况下。 工具变量集合相同，只是次序不同。 次序不同不影响正规方程组的解。2SLS与ILS估计量的等价性 在恰好识别情况下。 ILS的工具变量是全体先决变量。 2SLS的每个工具变量都是全体先决变量的线性组合。 2SLS的正规方程组相当于ILS的正规方程组经过一系列的初等变换的结果。 线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。六、简单宏观经济模型实例演示模型 消费方程是恰好识别的； 投资方程是过度识别的； 模型是可以识别的。下列演示中采用了1978-1996年的数据，与教科 书不同。 数 据用狭义的工具变量法估计消费方程 用Gt作为Yt的工具变量 估计结果显示