第四章效用回忆偏好关系ux y: 表示x严格偏好于 y。ux y: 表示x 与 y受到同等偏好。ux y: 表示x至少和y受同等偏好。pf回忆偏好关系u完备性: 对于任意的两个消费束x和y， 那么它们之间关系式x y 或者y x.ff回忆偏好关系u反身性: 任何消费束至少与它本身受到 同等偏好; 例如x x。f回忆偏好关系u传递性: 假如 x 弱偏好于y, 且 y 弱偏好于z, 那么 x 弱偏好于z; 例如:x y 且 y z x z.fff效用函数u满足完备性、反身性、传递性和连续性 的偏好关系可以通过一个连续效用函数 来表示。u连续性表示消费束的微小变动只会引起 偏好的微小变动。效用函数u效用函数 U(x) 表示 弱偏好关系 ，当 且仅当：x x” U(x) U(x”)x x” U(x) U(4,1) = U(2,2) = 4u我们称这些值为效用水平。p效用函数与无差异曲线u无差异曲线包含受到同等偏好的消费束 。u同等偏好 同样的效用水平u因此所有在无差异曲线上的消费束都有 相同的效用水平。效用函数与无差异曲线u消费束(4,1) 和 (2,2) 在无差异曲线上， 有相同的效用值4。u但是消费束(2,3) 不在无差异曲线上，它 的效用值为6。u在无差异曲线图上, 这种偏好如下图所示 :效用函数与无差异曲线U 6 U 4(2,3) (2,2) (4,1)x1x2p效用函数与无差异曲线u另一种表示这种偏好关系的方式为通过 立体图在垂直方向显示效用值。U(2,3) = 6U(2,2) = 4 U(4,1) = 4效用函数与无差异曲线3个消费束的消费与效用函数的三维图x1x2效用效用函数与无差异曲线u通过加入两条无差异曲线可以使得三维 图能更好地显示这种偏好关系。效用函数与无差异曲线U 4U 6更高的无差异曲线 包含更受偏好消费束效用x2x1效用函数与无差异曲线u比较更多的消费束会发现更多的无差异 消费曲线，从而能使我们对消费者的偏 好有更好的理解。效用函数与无差异曲线U 6 U 4 U 2 x1x2效用函数与无差异曲线u如前所述，可以通过在三维空间里面的 垂直方向轴所表示的效用来描述每一条 无差异曲线。效用函数与无差异曲线U 6U 5 U 4 U 3 U 2U 1 x1x2效用效用函数与无差异曲线u比较所有可能消费束可以得到消费者的所 有无差异曲线，每一条曲线都有它的效用 值。u所有的这些无差异曲线完全代表了消费者 的偏好。效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2效用函数与无差异曲线x1x2Utility Functions 也即, (2,3) (4,1) (2,2).p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u令 V = U2.p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u令V = U2.u那么有 V(x1,x2) = x12x22 且 V(2,3) = 36 V(4,1) = V(2,2) = 16 同样， (2,3) (4,1) (2,2).uV 代表着与U相同的偏好顺序，因此表示 相同的偏好。pp效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u假设 W = 2U + 10.p效用函数uU(x1,x2) = x1x2 (2,3) (4,1) (2,2).u假设 W = 2U + 10.u那么 W(x1,x2) = 2x1x2+10 s因此 W(2,3) = 22 W(4,1) = W(2,2) = 18. 同样 (2,3) (4,1) (2,2).uW 代表了和U和V一样的偏好顺序，因此也 表示了相同的偏好关系。pp效用函数u假如 U 是一个表示 偏好关系的效用函 数 f 是一个严格递增的函数，u 那么 V = f(U)也同样是一个表示 偏好 关系的效用函数。 ff嗜好品、厌恶品和中性商品u嗜好品是指那些能够增加效用的商品 (即 更加受到偏好的消费束)。u厌恶品是指那些能够降低效用的商品(即 不受到偏好的消费束)。u中性商品是指那些不影响效用的商品 (即 它的存在不会影响消费者偏好关系)。嗜好品、厌恶品和中性商品效用水x水的消费量 是嗜好品的 范围水的消费量 是厌恶品的 范围在 x 周围，少量额外的水是不影响消费者的效用。效用函数一些其它的效用函数以及它们 的无差异曲线u考虑用V(x1,x2) = x1 + x2代替U(x1,x2) = x1x2 那么对于这个表示完全替代关系的无差 异曲线是怎样的？完全替代品的无差异曲线55991313x1x2 x1 + x2 = 5x1 + x2 = 9x1 + x2 = 13V(x1,x2) = x1 + x2.完全替代品的无差异曲线55991313x1x2 x1 + x2 = 5x1 + x2 = 9x1 + x2 = 13所有的无差异曲线都是线性和平行的V(x1,x2) = x1 + x2.一些其它的效用函数以及它们 的无差异曲线u考虑用函数 W(x1,x2) = minx1,x2替代U(x1,x2) = x1x2 和 V(x1,x2) = x1 + x2 函数 那么完全互补品的无差异曲线是怎样的？完全互补品的无差异曲线 x2x145ominx1,x2 = 83 58358minx1,x2 = 5 minx1,x2 = 3W(x1,x2) = minx1,x2完全互补品的无差异曲线 x2x145ominx1,x2 = 83 58358minx1,x2 = 5 minx1,x2 = 3无差异曲线是相互垂直的直线，最高点是一条 从原点出发的射线。W(x1,x2) = minx1,x2一些其它的效用函数以及它们 的无差异曲线u一个效用函数有如下的形式U(x1,x2) = f(x1) + x2是关于x2 的线性效用函数，我们称之为 拟线性效用函数。u例如 U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.拟线性无差异曲线 x2x1每一条无差异曲线都是垂直的向上平行 移动。一些其它的效用函数以及它们 的无差异曲线u任何有如下形式的效用函数U(x1,x2) = x1a x2b其中 a 0 ， b 0 叫做柯布道格拉斯效 用函数u例如 U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2)V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b =3）柯布-道格拉斯无差异曲线x2x1所有曲线都是双曲线，渐进趋 向于坐标轴。边际效用u边际意味着“增量”.u商品i的边际效用 是总效用的该变量与i的消费量的改变量之比:边际效用u例如 ，假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么边际效用u例如， 假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么边际效用u例如 假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么边际效用u例如 假设 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么边际效用u那么, 如果 U(x1,x2) = x11/2 x22 那么边际效用和边际替代率u无差异曲线效用函数的一般形式为U(x1,x2) k, k为常数u全微分得到如下方程：边际效用和边际替代率也即边际效用和边际替代率也即且这是边际替代率。边际效用和边际替代率; 一个例 子u假设 U(x1,x2) = x1x2. 那么那么边际效用和边际替代率; 一个例 子MRS(1,8) = - 8/1 = -8MRS(6,6) = - 6/6 = -1.x1x28616U = 8U = 36U(x1,x2) = x1x2;拟线性效用函数的边际替代率u拟线性效用函数有如下形式：U(x1,x2) = f(x1) + x2.因此拟线性效用函数的边际替代率uMRS = - f (x1) 与x2无关，对于给定的 x1，拟线性效用函数的无差异曲线的斜率 是一个常数，且与x2无关。那么拟线性 效用函数的无差异曲线图是怎样的？拟线性效用函数的边际替代率 x2x1每一条无差异曲线都是垂直 的向上平行移动。对于给定的x1 ， 边际替代率对于 是一个常数。MRS = - f(x1)MRS = -f(x1”)x1x1”单调变换与边际替代率u对一个效用函数使用单调变换并不改变 消费束的偏好关系。u当使用单调变换时，边际替代率会怎么 样变化？单调变换与边际替代率u对于 U(x1,x2) = x1x2 MRS = - x2/x1.u令 V = U2; i.e. V(x1,x2) = x12x22. 那么V 的MRS会怎样变化?和效用函数U的MRS一样。单调变换与边际替代率u一般来说, 假如V = f(U) 且f 是一个严格 单调递增函数。因此 MRS不受单调变换的影响。第五章选择经济理性u行为主体的基本假定包括决策者总是在 他的可选范围内选择他最偏好的策略。u这些可行选择构成了一个可选集。u那么最受消费者偏好的消费束在可选集 的什么地方？理性约束选择x1x2理性约束选择x1x2效用理性约束选择效用x2x1理性约束选择x1x2效用理性约束选择效用x1x2理性约束选择效用x1x2理性约束选择效用x1x2理性约束选择效用x1x2理性约束选择效用x1x2可行选择, 但不是最 受偏好的可行消费束 。理性约束选择效用x1x2效用可行选择, 但不是最 受偏好的可行消费束 。最受偏好的可行消 费束理性约束选择效用x1x2效用理性约束选择效用效用x1x2理性约束选择效用效用x1x2理性约束选择效用效用x1x2理性约束选择效用x1x2理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束理性约束选择效用x1x2可行消费束更受偏好的消费束理性约束选择效用可行消费束x1x2更受偏好消费束理性约束选择效用x1x2x1*x2*理性约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是最受偏好的 可行消费束理性约束选择效用u在给定价格和预算情况下的最受偏好消 费束称为消费者的一般需求。u我们用x1*(p1,p2,m) 和 x2*(p1,p2,m)来表 示一般需求。理性的受约束选择效用u当 x1* 0 ， x2* 0 这样的需求消费束 称为内点。u假如购买消费束 (x1*,x2*) 花费 $m ，那 么预算刚好花完。理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*) 是内点(x1*,x2*) 在预算线上理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*) 是内点 (a) (x1*,x2*) 在预算线上; p1x1* + p2x2* = m。理性的受约束选择效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*) 是内点 (b) (x1*,x2*)点的无差异曲线 的斜率与预算约束线的斜率 相等。理性的受约束选择u(x1*,x2*) 满足两个条件:u (a) 该点在预算线上;p1x1* + p2x2* = mu (b) 在点(x1*,x2*)的预算约束的斜率为 -p1/p2, 与无差异曲线在该点的斜率刚好 相等。计算一般需求u对于给定的p1, p2 和 m，如何确定消费 束 (x1*,x2*) 的位置？计算一般需求- 以柯布-道格拉 斯函数为例u假如消费者有一个柯布-道格拉斯的效用 函数。计算一般需求- 以柯布-道格拉 斯函数