2.6 指数函数预备知识1.分数指数幂的性质(1) ),0()(3,21Qrbaabsrrsrsr2.0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义课本知识导学运用课本知识诠解1.指数函数的定义一般地，函数 y=ax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，指数函数的定义域为 R，值域为(0，+).2.指数函数的图像和性质a1 0a1图像定义域 R，值域(0，+).恒过定点(0，1)即 x=0,y=1x0 时，y1 x0 时，0y1 x0 时，xy1 x0 时，y1在(-，+)上为增函数 在(-，+)上为减函数性质当 x0 时，a 越大图像越高 当 x0 时，a 越大图像越低当 x0 时，a 越大图像越低当 x0 时，a 越大图像越高重要提示1.定义中规定 a 0 且 a1，是为了保证定义域为实数集，具有 单调性.2.底数对指数函数图像的影响：无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y=ax 的图像与直线 x=1 的交点坐标均为(1 ，a)；当 a1时，a 由大变小接近于 1 时，函数 y=ax 的图像与直线 x1 的交点逐 渐接近直线 y=1；当 0a1 时，a 由大变小接近于 0 时，函数 y=ax的图像与直线 x=1 的交点逐渐接近 x 轴.随笔： 对于指数函数注意到它们的图像，就很容易知道它们的性质，特别注意掌握以下四条性质有利于解答某些题目：(1)当 a1 时， .10,xax则则当 0a1 时， .,x则则(2)当 a1 时，a 越大，图像越靠近 y 轴，当 0a1 时，a 越小，图像越靠近 y 轴.(3)底数互为倒数的两个指数函数图像关于 y 轴对称.(4)给出两个指数函数 y1=a1x,y2=a2x,若 a2a 11,当 x0 时，y 2y 11，当 x0 时，y 2y 11.若 0a 2a 11,当 x0 时，y 2y 11，当 x0 时，y 2y 11.3.函数图像的变换(1)平移变换：函数 y=f(x+a)的图像是由 y=f(x)的图像向左、向右平移得到，当 a0 时，是由函数 y=f(x)图像向左平移 a 个单位得到；当 a0 时，是由 y=f(x)的图像向右平移 a 个单位得到.函数 y=f(x)+b 的图像是由 y=f(x)的图像向上、向下平移得到的.当 b0 时，是由 y=f(x)图像向上平移 b 个单位得到；当 b0 时，是由y=f(x)的图像向下平移 b 个单位得到的.(2)对称变换函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称；函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称；函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图像关于原点对称；函数 y=f(x)与 y=f-1(x)的图像关于直线 y=x 对称；函数 y=|f(x)|的图像，由函数 y=f(x)在 x 轴及其上方的图像与在 x 轴下方部分沿 x 轴“翻折”到上方合并而成；函数 y=f(|x|)的图像由函数 y=f(x)(x0)的图像及其关于 y 轴对称的图像合并而成.3.函数 y=-ax 与 y=ax(a0 且 a1)的图像关于 x 轴对称；函数 y=ax 与 y=a-x(a0 且 a1)的图像关于 y 轴对称.随笔： 4.形如 y=af(x)(a0 且 a1)的函数为指数型复合函数，其性质有：(1)函数 ya f(x)的定义域与 uf(x)的定义域相同；(2)当 a1 时，函数 y=af(x)与函数 u=f(x)的单调性相同；当 0a1 时，函数 y=af(x)与函数 u=f(x)的单调性相反，若在某区间上，y=a u与 u=f(x)的单调性相同，则 y=af(x)为增函数，当 y=au与 u=f(x)的单调性相反时，y=a f(x)是减函数.(3)要确定 y=af(x)的值域，要先确定 u=f(x)的值域，再结合 y=au的单调性及值域，可得到 y=af(x)的值域.基础例题点拨【例题 1】比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1【解析】(1)y=1.7 x在 R 上是增函数，又 2.53,1.7 2.51.7 3(2)y=0.8 x在 R 上是减函数又-0.1-0.2,0.8 -0.10.8 -0.2(3)1.7 0.31.7 0=1,而 0.93.10.9 0=1,1.7 0.30.9 3.1【思路点拨】形如 am与 an(a0 且 a1)的两个数叫做底数相同，指数不同的两个数.比较它们的大小的方法是：利用指数函数的单调性.若底数不同，指数也不同的两个数比较大小，可借助中间数.【例题 2】设 y1=a3x+1，y 2a -2x,其中 a0 且 a1，确定 x 为何值时，有(1)y1=y2;(2)y1y 2.随笔： 一拖二拖 1 已知下列不等式，比较 m,n 的大小：(1)2m2 n;(2)0.2m0.2 n;(3)ama n(0a 1);(4)ama n(a1).答案：指数函数 y=ax，当 a1 时在 R 上为增函数，当 0a1 时在 R 上为减函数，(1)21，用 2m2 n,mn;(2)00.21 且0.2m0.2 n，mn;(3)0a1 且 ama n，mn；(4)a1 且 ama n，mn.x随笔： 拖 2 解下列方程或不等式：(1)23-2x=(0.5)3x2-4;(2)23-2x(0.5) 3x2-4.答案：(1)由 23-2x=(0.5)3x2-4得 23-2x=24-3x2,3-2x=4-3x 2，即 3x2-2x-1=0，解得 x=- 或 x=1.31(2)由 23-2x(0.5) 3x2-4得 23-2x 3x2-4，2 3-2x2 4-3x2又 21，故上不等式等价于 3-2x4-3x 2,即 3x2-2x-10，解得- x1.)1( 31【解析】(1)y 1=y2a3x+1=a-2x3x+1=-2x,解得 x=- ，故当 x=- 时，有 y1=y2;5(2)当 a1 时，y 1y 2a3x+1a -2x3x+1-2x，解得 x- ;当 0a1 时，y 1y 2a3x+1a -2x3x+1-2x，解得 x- ;【思路点拨】对于(1)y 1=y2a3x+1=a-2x,这是最简单的指数方程，则有 af(x)=ag(x)f(x)=g(x);对于(2)y 1y 2转化为 a3x+1a -2x，它不能等同于 3x+1-2x，因为 a 不一定大于 1，故应根据 a1 或 0a1 两种情形讨论，也即由指数函数单调性来解简单的指数不等式.【例题 3】设 f(x)=3x,求证：(1)f(x)f(y)=f(x+y);(2)f(x)f(y)=f(x-y)【解析】(1)f(x)f(y)=3 x3y=3x+y=f(x+y);(2)f(x)f(y)=3x3y=3x-y=f(x-y).【思路点拨】利用“同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)”进行证明.【例题 4】设 f(x)= ，g(x)= ，2e-x2e-x求证：(1)g(x) 2-f(x) 2=1;(2)f(2x)=2f(x)g(x);(3)g(2x)=f(x) 2+g(x) 2.【解析】(1)g(x) 2-f(x) 2=( )2-( )2= =exe-x=1;e-x-x 44)()(22xxee(2)右边2( )( )e-x-x随笔： 拖 3 证明：(1)若 f(x)=ax+b,则 f( )=f( );2x121(2)若 f(x)=x2+ax+b，则 f( )f( ).121答案：(1)f( )=a +b= .21x21x )(21)(21)(2 21121 xffbaxbxaxb ,2121212212121 )(4)()(4)()()() ffaf .)()(,0)(4 212121 xffxfx= =f(2x)=左边；2xxxeee(3)右边( )2+( )w-x-x 424)()(22 xxx ee g(2x)=左边.wex2【思路点拨】要理解 f(2x)及 g(2x)的含义，并从复杂证到简单.重难点突破重点难点易混点易错点方法技巧重难点1.重点指数函数的图像与性质.2.难点性质的运用，考点是掌握指数函数的概念、图像和性质，能利用性质比较熟练进行大小比较，会利用基本指数函数的性质研究简函数的单调性等性质.掌握“数形结合”方法的使用.另外需掌握一般的函数图像的变换，即：(1)平移交换：函数 y=f(x+a)的图像是由 y=f(x)的图像向左、向右平移得到，当 a0 时，是由 y=f(x)图像向左平移 a 个单位得到；当a0 时，是由 y=f(x)的图像向右平移|a|个单位得到.函数 y=f(x)+b 的图像是由 y=f(x)的图像向上、向下平移得到的.当 b0 时，是由y=f(x)图像向上平移 b 个单位得到；当 b0 时，是由 y=f(x)的图像向下平移|b|个单位得到的.(2)对称变换：函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图像关于 x 轴对称.函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图像关于 y 轴对称.函数 y=f(x)与 y=-f(-x)的图像关于原点对称.函数 y=f(x)与 y=f-1(x)的图像关于直线 y=x 对称.函数 y=|f(x)|的图像，由函数 y=f(x)在 x 轴及其上方的图像与在 x 轴下方部分沿 x 轴“翻折”到上方合并而成.函数 y=f(|x|)的图像由函数 y=f(x)(x0)的图像及其关于 y 轴对称的图像合并而成.易混易错点1.易混点（1）为何指数函数 y=ax中要规定底数 a0 且 a1?如果 a=0，当 x0 时，a x恒等于 0；当 x0 时，a x无意义.如果 a0，比如 y=(-4)x，这时对于 x= ，x= ，等等，在实数范围内函数值不存在.412如果 a=1,y=1x=1，是一个常量，对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况，所以规定 a0 且 a1.（2）什么样的函数才算指数函数？根据指数函数的定义知，形如 y=ax(a0 且 a1)的函数叫指数函数.如 y=4x,y= 4,y=(2a-1)4(a 且 a1)等都是指数函数；但象 y=-214x,y=32x+1等只能算复合函数的指数函数，而像 y=x4,y=(-4)x,y=xx等根本不是指数函数，更一般地