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第二章 复变函数的积分 2.1 复变函数的积分复平面上的路积分 定义: 复平面分段 光滑曲线l 上的连续函 数 f(z),作和 A xyo Bz0znlz1zk-1zkk1存在且与k的选取无关, 则这个和的极限称 为函数f(z) 沿曲线l从A到B的路积分,记为即若2分量形式:f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy参数形式:曲线l 的参数方程 x=x(t), y=y(t), 起始点A 和结束点 BtA, tB3几个重要性质 1。常数因子可以移到积分号之外2。函数和的积分等于各函数积分的和3。反转积分路径,积分值变号 44。全路径上的积分等于各分段上的积分之和即: 如果 l=l1+l2+ln5。积分不等式1:6。积分不等式2:其中 M 是 |f(z)| 在 l 上的最大值,L 是 l 的全长。5例 计算积分 解一般言,复变函数的积分 不仅与起点和终点有关, 同时还与路径有关.oxyl1l1l2l211+ii62.2 柯西(Cauchy)定理研究积分与路径之间的关系(一)单连通域情形 单连通域 在其中作任何简单闭合围线,围 线内的点都是属于该区域内的点 单连通区域的Cauchy 定理 :如果函数 f(z) 在 闭单连通区域 中单值且解析, 则沿 中 任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。7oxylco证明:由路径积分的定义:因 f(z)在 上解析,因而 在 上连续,8对实部虚部分别应用格林公式将回路积分化成面积分又u、v 满足C-R条件 故9推广:若f(z)在单连通域B上解析,在闭单连 通域 上连续,则沿 上任一分段光滑闭 合曲线C (也可以是 的边界),有(二)复连通域情形 如果区域内存在: (1)奇点 ;(2)不连续线 段; (3)无定 义区 为了把这些奇异部分排除在外,需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来, 形成带孔的区域-复连通区域。10一般言,在区域内,只要有一 个简单的闭合围线其内有不属 于该区域的点,这样的区域便 称为复连通域区域边界线的正向 当观察者 沿着这个方向前进时,区域 总是在观察者的左边。 xy l1l2l3l0Bo11复连通区域的Cauchy 定理:如果 f(z) 是闭复连通区域 中的单值解析 函数,则l 为外边界线, li为内边界 线,积分沿边界线正向证:作割线连接内外边界线 1213即14柯西定理总结:1。若f(z)在单连通域B上解析,在闭单连通 域 上连续,则沿 上任一分段光滑闭合 曲线C(也可以是 的边界)的积分为零; 2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有 内外境界线正方向的积分为零; 3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境 界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线 逆时针方向积分之和;15由Cauchy 定理可推出: (与开头呼应!) 在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数 f(z),其路积分值只依赖于起点和终点,而 与积分路径无关。16证明:由图可知其中 表示C2 的反方向。由积分的基本性质可得:ADBC2C117最后可得:只要起点和终点固定不变,当积分路径 连续变形时(不跳过“孔”)时,函数的 路积分值不变182.3 不定积分(原函数) 根据 Cauchy 定理,若函数f(z)在单连通 区域B上解析, 则沿B上任一分段光滑曲 线 l 的积分 只与起点和终点有 关,而与路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了 一个单值函数 F(z): 19F(z) 的性质: (1) F(z) 在B上是解析的; (2) 即 F(z) 是f(z) 的一个原函数。原函数不是唯一的,但原函数之间仅仅相差一 常数,这一常数决定于起点 z0。 可以证明:20例一:计算积分解:(1)当 n-1 时, zn 的原函数是 z(n+1)/(n+1) 故(2)当 n=-1 时,z-1 的原函数是 ln(z), 故21注意:此积分与路径有关系!因为z=0 是 1/z 的一个奇点。 一般:如果 被积函数有奇点,则由不定积 分给出的函数可能是多值的。被积函数的 奇点,可能是该函数的支点。22例二:计算积分其中 C 是正向圆周|z|=a 0. 解:显然函数ezsinz 在复平面上处处解析, 由Cauchy 定理知 故注意:此题若用复积分的计算公式, 则非常复杂,甚至可能得不到结果!23例三(非常重要):计算积分 I( n 为整数)解: (1)如果 l 不包 含 点,被积函数总解析, 按柯西定理, I=0;(2)如果 l 包含 点, 又要分两种情况:(a) n0, 因被积函数 解析, 故 I=0;(b) n0:解:令 则 因此(1)若 |a| ,在圆 内解析,由 Cauchy 公式, aC39
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