概率统计下页结束返回. 古典概型 一、古典概型的定义 二、古典概型计算公式五、几何概型及其计算三、古典概型计算步骤四、古典概型计算举例下页概率统计下页结束返回古典概型 1. 古典概型若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个，即=1，2，n；(2) 每个基本事件发生的可能性相同，即 P(1)=P(2)=P(n)。则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。. 古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间及事件A分别为：=1，2，nA=i1，i2，ik 则随机事件 A 的概率为： 下页概率统计下页结束返回古典概型 3. 古典概型的概率计算步骤(1) 指出基本事件(样本点)；(2) 计算样本空间中基本事件(样本点)总数n；(3) 指出事件A；(4) 计算事件A中基本事件(样本点)总数k；(5) 计算事件A的概率P(A)。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.1 古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例1. 抛一枚硬币，问硬币落地后正面向上的概率是多少？解：显然，基本事件为：正面向上，反面向上，因而样本空间=正面向上，反面向上， 所以的基本事件总数为2。设A=正面向上 或设A表示“正面向上”事件，则A包含的基本事件为正面向上，即它包含的基本事件总数为1。所以，P(A)=1/2=0.5。例2. 将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解：基本事件为：正,正 , 正,反 , 反,正 , 反,反 ，因而样本空间=正,正 , 正,反 , 反,正 , 反,反， 所以的基本事件总数为4。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.1 古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例2. 将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向上的概率是多少？解：基本事件为：正,正 , 正,反 , 反,正 , 反,反 ，因而样本空间 =正,正 , 正,反 , 反,正 , 反,反， 所以的基本事件总数为4。设A=有一次正面向上 ，则A=正,正 , 正,反 , 反,正 ，显然A包含的基本事件总数为3。所以，P(A)=3/4=0.75。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.1 古典概型的概率计算举例（“数一数”法）例3. 口袋中有100只球，编号依次为1,2,3,100，现从中任取一球，问取得的球编号不超过20的概率？解：基本事件为：1号球 , 2号球, 100号球 ，因而样本空间=1号球 , 2号球, 100号球 ， 所以的基本事件总数为100。设A=取得的球编号不超过20，则A=1号球 , 2号球, 20号球 ，显然A包含的基本事件总数为20。所以， P(A)=20/100=0.2。问题：在本例中，取得的球编号为5的倍数的概率是多少？下页概率统计下页结束返回古典概型 4.2 古典概型的概率计算举例（“算一算”法）例4. 7件产品中有3件次品，现从中任取3件。问3件中恰有1件次品的概率？解： 7件产品中任意3件的一个组合，是一个基本事件，即是一个可能的基本结果(说明这一点很重要！)，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为设A=3件中恰有1件次品, 则A包含的基本事件总数为从而，P(A)=（具体算法描述见下页）下页概率统计下页结束返回01：1,2,310：1,4,519：2,3,728：3,4,7 02：1,2,411：1,4,620：2,4,529：3,5,6 03：1,2,512：1,4,721：2,4,630：3,5,7 04：1,2,613：1,5,622：2,4,731：3,6,7 05：1,2,714：1,5,723：2,5,632：4,5,6 06：1,3,415：1,6,724：2,5,733：4,5,7 07：1,3,516：2,3,425：2,6,734：4,6,7 08：1,3,617：2,3,526：3,4,535：5,6,7 09：1,3,718：2,3,627：3,4,6说明：若用1,2,3表示3个次品，用4,5,6,7表示4个正品，则以下为样本 空间(基本事件总数为35)，绿色的为A包含的基本事件(18个)。算法：A的基本事件是从中逐个挑选出来的！其个数等价于“形成” 事件A的种数。这是矛盾转化的关键思路。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.2 古典概型的概率计算举例（“算一算”法）例5. 一套5卷的选集随机地排放在书架上，问：(1)第1卷放在最左边的概率？(2)从左到右正好按卷号排成12345的概率？解：5卷选集在5个位置上的任一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数(即样本空间中的基本事件总数)为5！。设A=第1卷放在最左边,B=从左到右正好按卷号排成12345。则A包含的基本事件总数为1*4!，B包含的基本事件总数为1。从而，P(A)=4!/5!，P(B)=1/5!。 小结：计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列有时用组合，那么何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑“顺序”时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心的事件A所包含的基本事件总数的计算，都要用排列，反之亦然。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.3 古典概型的概率计算举例（利用运算性质） 例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只。现从中任取1只(取后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率?解：6只球中的任意2只球的一种排列，是一个基本事件，因此，所有可能的基本事件总数为P62。设A=取到2只白球,B=取到2只黑球 ,C=取到两个颜色相同的球 ,D=至少取到1只白球 。则A包含的基本事件总数为P42，B包含的基本事件总数为P22，则P(A),P(B)可求。而显然，C=AB=A+B；D+B=（即D与B互逆），从而有，P(C)= P(A)+P(A)； P(D)=1- P(B)。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.4 古典概型的概率计算举例（经典问题）例7.设口袋中有a个白球，b个黑球，现从中一个一个地取出，求第k次取到黑球的概率。解： 设想将取出的球依次排放在a+b个位置上，于是， a+b个球在a+b个位置上的一种排列，就是一个基本事件，所以基本事件总数为(a+b)!。设A=第k次取到黑球，事件A相当于在a+b个位置中的第k个位置上被放入黑球。显然，第k个位置为黑球的排列种数为b(a+b-1)!，即第k个位置为黑球有b种确定方法，而其余的(a+b-1)个位置可以任意地放剩余的球，即它们进行全排列即可。于是，P(A)=b/(a+b)。下页概率统计下页结束返回古典概型 4.4 古典概型的概率计算举例（经典问题）例7.设口袋中有a个白球，b个黑球，现从中一个一个地取出，求第k 次取到黑球的概率。说明：事实上例7有许多解法，下面再给出一种比较简捷的解法。 另解：解法的关键是把注意力放在第k次取球上。即第k次出现的事 件为基本事件，显然，第k次取球共有a+b种取法(即样本点总数)， 而第k次取到黑球，只有b种取法(即事件A包含的样本总数)，于是， P(A)=b/(a+b)。小结: 试验的样本空间并不唯一，样本空间究竟是什么，这完全取决于你赋予基本事件的意义。至于怎样指派基本事件，很难给出固定的 规则，依赖于观察问题的角度，这正是初学者感到困难的地方。也正 是因为这样，古典概型的问题才具有很强的挑战性，并使不少人对此产生浓厚兴趣。 下页概率统计下页结束返回古典概型 4.4 古典概型的概率计算举例（经典问题）例8.设有n个球，随机的放到m个盒子中去，(nm)，求下列事件的概率。(1)A=指定的n个盒子中各有一个球；(2)B=恰有n个盒子各有一个球。解： n个球在个m位置上的任一种放法是一个基本事件。所以,中的基本事件总数为 mn 个。(1)指定的n个盒子各放入一个球，就是n个球在n个指定的盒子中的排列，即 A 中的基本事件数为n!，从而P(A) 可求。(2)因为没有指定是哪n个盒子，这n个盒子可以从m个盒子中任意选取，共有Cmn 种选法，即B中的基本事件数为Cmn n!，于是P(B) 可求。下页概率统计下页结束返回当试验结果为无限时，会比古典概率复杂得多。这里讨论无 限样本空间中具有某种“等可能性”的一类问题。设为某个区域（可以是一维，也可以是二维、三维）测度为m(）；A为的子区域，测度为m(A)。任意向中投掷的点落在A中的可能性与A的测度成正比，但与A的形状和A在中的位置无关。则我们规定 A5. 几何概型下页概率统计下页结束返回例9.甲、乙两艘轮船要在某个舶位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达。试求这两艘船中至少有一艘在停靠舶位时必须等待的概率。解：设x为甲到达的时刻 (0x0, 则P(AB)=P(A)P(B | A)可推广一般形式：若P(A1 A2 An-1)0，则P(A1 A2 An) P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) P(An A1 A2 An-1)例4.已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(AB)解: P(AB)=P(A)+ P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7。下页概率统计下页结束返回解：设Ai=第i次取得正品，i=1，2，3。（2） （1）例5.100个零件中有10次品，每次任取一件，取后不放回。(1)连取两次，求两次都取得正品的概率；(2)连取三次，求第三次才取得正品的概率。下页概率统计下页结束返回1.4.2 事件的独立性 一、 事件的独立性引例：袋中有 a 只黑球，b 只白球每次从中取出一球， 取后放回令：A= 第一次取出白球 ，B= 第二次取出白球 ，则这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性下页概率统计下页结束返回1.4.2 事件的独立性 一、 事件的独立性1定义 设A、B二事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称A、B为相互独立的事件。 显然，必然事件及不可能事件与任何事件A都相互独立。 性质(1)若P(A)0, P(B)0, 则A和B独立P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)AB与，与，与(2)如果、相互独立,则ABABAB也相互独立。 所以和相互独立。下页概率统计下页结束返回例6. 甲、乙两人各自同时向一目标射击。已知甲击中目标的概率 为0.6，乙击中目标的概率为0.5。求目标被击中的概率。 解：设A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=目标被击中。由于 C=AB，且，独立得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.60.5=0.8=1-0.40.5=0.8或例7. 已知一批玉米种子的发芽率为0.9，现每穴种两粒，求(1)两粒 都能发芽的概率；(2)至少有一粒种子发芽的概率；(3)恰好有一粒 种子发芽的概率。 解：设两粒种子为甲和乙，A=甲发芽，B=乙发芽，由题意,B独立。下页概率统计下页结束返回二、多个事件的独立性(1) 3个事件相互独立的定义三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式则称三事件A、B、C相互独立。例8. 若三事