1第第 5 5 节节 定积分定积分（答题时间：（答题时间：6060 分钟）分钟）1. 620(1)xdx 。2. 1(2)exedxx。3. 221xxdx 4. 已知221, 2,2( )1,(2,4xxf xxx ，当k 时，340( )3kf x dx 恒成立。5. 求曲线2yx，yx及2yx所围成的平面图形的面积。6. 设yf（x）是二次函数，方程f（x）0 有两个相等的实根，且f（x）2x2。（1）求yf（x）的表达式；（2）求yf（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积。（3）若直线xt（0t1）把yf（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积二等分，求t的值。7. 抛物线 yax2bx 在第一象限内与直线 xy4 相切。此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S。求使 S 取得最大值的 a、b 值，并求 Smax。8. 设直线yax(1)a 与抛物线2yx所围成的图形的面积为 S，它们与直线1x 围成的图形的面积为 T，若 UST 达到最小值，求a的值；并求此时平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积。21. 78 33 6 06()|67833xx解析：原式2. 22 ln2ln2e e11112222|ln|ln2ln2ln2xe exeeeedxdxexex解析：原式3. 61122021222 1101|()()()xx dxxx dxxxdxxx dx解析：222 303132 10111111()|()|()|3223326xxxxxx4. 0 或13333233322223222232212340( )(1)()(39)()333 , 340 340(1)(4)0 1 23 1222( )(21)(1)(kkkkkkkxkf x dxxdxxkkkkkkkkkk k kkkf x dxxdxx dxx 解析：分和两种情况讨论：（）当时整理得，即又舍去（）当时3323 2222)()3 84040(42)()(39)(2)()333 0,01. , 01kkxxxkkkkkkkkkk 即或综上所述或5. 解：作出2yx，yx及2yx的图如图所示，解方程组22yxyx 得2 4x y 0 0x y 解方程组2yxyx 得1 1x y 0 0x y 所求面积122 01(2)(2)Sxx dxxxdx3122 01(2)xdxxxdx2 1232 0111|()|23xxx7 6答：此平面图形的面积为7 6。6. 解：（1）设f（x）ax2bxc，则f（x）2axb， 又已知f（x）2x2 a1，b2。 f（x）x22xc 又方程f（x）0 有两个相等实根， 判别式44c0，即c1。 故f（x）x22x1。（2）依题意，得所求面积31| )31() 12(0 12320 1xxxdxxx。（3）依题意，有xxxxxxttd) 12(d) 12(202 1 ，023 123| )31(| )31(ttxxxxxx ，31t3t2t3131t3t2t，2t36t26t10，2（t1）31，于是t1321。7. 解：依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x10，x2ab，所以3 202 61)(badxbxaxSab （1）又直线 xy4 与抛物线 yax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组 bxaxyyx24 得 ax2（b1）x40，其判别式必须为 0，即（b1）216a0。于是,) 1(1612ba代入（1）式得：)0() 1(6128)(43 bbbbS，52) 1(3)3(128)(bbbbS； 令 S（b）0：在 b0 时得唯一公共点 b3，且当 0b3 时，S（b）0；当 b3 时，S（b）0。故在 b3 时，S（b）取得极大值，也是最大值，即 a1，b3时，S 取得最大值，且29maxS。8. 解：（1）01,1a当时如图42 223333 2 003233312132(0,0)( ,)()()23236 11()()()()323232326 1 323 12. 0,.22aaaayaxa ayxaxxaaaSaxx dxxaxaaaaaTxax dxaaUSTUaUa 由得交点和令得2(0,)0 2 2(,1)02 222,.26aUaUaU当时,当时,故当时的最小值为20 2a （）当时，如图52 22302033332121 0032(0,0)( ,)()()23236()()32 11()3232 1. 623 1032 ( ),0.aayaxa ayxaxxSaxx dxaaaxaxTxax dxaaaaUSTaUU a 由得交点和所以函数在上单调递减故函数( )U a无最小值。当0a 时，显然无最小值。 21 30V