在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率和乘法公式一、条件概率和乘法公式1. 条件概率的概念如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).一般地 P(A|B) P(A) 第三节 条件概率、全概公式和贝叶斯公式P(A )=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，B=掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是B，P(A|B)= 1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中.容易看到P(A|B)于是P(A )=3/10，又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记B=取到正品A=取到一等品，P(A|B)则P(A )=3/10，B=取到正品 P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例. A=取到一等品，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某 个缩小了的范围内来考虑问题.若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1)2. 条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.3. 条件概率的性质(自行验证)2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算1) 用定义计算:P(B)0掷骰子例：A=掷出2 点， B=掷出偶数点P(A|B）=B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数在缩减样本空 间中A所含样 本点个数例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“ 掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1解法2 解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点应用 定义在B发生后的缩减样本 空间中计算由条件概率的定义：即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而 P(AB)=P(BA)5 5 乘法公式乘法公式若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率注意P(AB)与P(A | B)的区别！请看下面的例子例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？所求为P(AB).甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产300个 乙厂生产设B=零件是乙厂生产, A=是标准件所求为P(AB) .设B=零件是乙厂生产A=是标准件若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”求的是 P(A|B) .B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.甲、乙共生产 1000 个189个是 标准件300个 乙厂生产例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的 这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为 P(B|A) .条件概率P(A|B)与P(A)的区别每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小.P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它 们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发 生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍 是概率.乘法公式应用举例一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个 与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四 次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到 红球的概率. （波里亚罐子模型） b个白球, r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第 二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球, r个红球随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球.解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球 4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某 人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球 的概率.解 记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，123其中 A1、A2、A3两两互斥看一个例子:二、全概公式和贝叶斯公式二、全概公式和贝叶斯公式 1 1、全概公式、全概公式将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每 一项运用乘法 公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B 两两互斥一个事件发生.某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生 的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作 用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大 小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因 B是结果例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击 中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落 的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都 击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.设A=飞机被击落Bi=飞机被i人击中, i=1,2,3由全概率公式则 A=B1A+B2A+B3A解依题意， P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)可求得为求P(Bi ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为0.458.于是该球取自哪号箱的可能性 最大?这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更 为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生 条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸 出一球，发现是红球,求该球 是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:2 2、贝叶斯公式、贝叶斯公式看一个例子:某人从任一箱中任意摸出一球， 发现是红球，求该球是取自1号 箱的概率. 记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球求P(A1|B)运用全概率公式 计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在 观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每 个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最 可能原因.例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一 种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试 验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试 验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下: 设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，求 P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为P(CA)=0.10662. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌 症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人 中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再 试验来确认. P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事 件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能 性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因 的验前概率和验后概率.