1第六单元第六单元 解三角形解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过正弦定理、余弦定理过双基1正弦定理2R，其中R是三角形外接圆的半径a sin Ab sin Bc sin C由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos_C.余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.b2c2a2 2bca2c2b2 2aca2b2c2 2ab小题速通1设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2 ，cos A，332且bc，则b( )A3 B22C2 D.3解析：选 C 由a2b2c22bccos A，得 4b2126b，解得b2 或4，bc，b2.2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，则角A的大小为( )A30 B60C120 D150解析：选 B 由余弦定理可得b2c2a22bccos A，又因为b2c2a2bc，所以cos A ，则A60.1 23在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Absin B1.bsin C c40 32 203角B不存在，即满足条件的三角形不存在3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2a，b4，cos B .则1 4c的值为( )A4 B2C5 D6解析：选 A c2a，b4，cos B ，1 4由余弦定理得b2a2c22accos B，即 16c2c2c2c2，1 41 4解得c4.4已知ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，b2acos 3B，c1，则ABC的面积等于( )A. B.32348C. D.3638解析：选 B 由正弦定理得 sin B2sin Acos B，故 tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B， 33 3又AB，则ABC是正三角形， 3所以SABCbcsin A 11.1 21 232345(2018湖南四校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2b2c2)tan Cab，则角C的大小为( )A.或 B.或 65 6 32 3C. D. 62 3解析：选 A 由题意知，cos C，a2b2c2 2ab1 2tan Ccos C 2sin Csin C ，又C(0，)，C或.1 2 65 66已知A，B两地间的距离为 10 km，B，C两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为( )A10 km B10 km3C10 km D10 km57解析：选 D 如图所示，由余弦定理可得，AC210040021020cos 120700，AC10(km)77(2018贵州质检)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是( ) 3A3 B.9 32C. D33 323解析：选 C c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab. 3 3由得ab60，即ab6.9SABCabsin C 6.1 21 2323 328一艘海轮从A处出发，以每小时 40 n mile 的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么B，C两点间的距离是( )A10 n mile B10 n mile23C20 n mile D20 n mile32解析：选 A 画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BC sin 30，解得BC10.AB sin 452故B，C两点间的距离是 10 n mile.2二、填空题9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，cos C ，3sin 1 4A2sin B，则c_.解析：因为 3sin A2sin B，所以由正弦定理可得 3a2b，则b3，由余弦定理可得c2a2b22abcos C4922316，则c4.(1 4)答案：410在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_解析：在ABC中，角A，B，C成等差数列，2BAC，由三角形内角和定理，可得B， 3又边a，b，c成等比数列，b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos B，aca2c2ac，即a2c22ac0，故(ac)20，可得ac，所以ABC的形状为等边三角形答案：等边三角形11已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围为_解析：由ACb2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，以 2 为半径的圆与AB有两个交点，当A90时，圆与AB相切，只有一解；当A45时，交于B点，也就是10只有一解，所以要使三角形有两解，需满足 45b，a5，c6，sin B .3 5(1)求b和 sin A的值；(2)求 sin的值(2A 4)解 (1)在ABC中，因为ab，12故由 sin B ，可得 cos B .3 54 5由已知及余弦定理，得b2a2c22accos B13，所以b.13由正弦定理，得 sin A.a sin Ab sin Basin B b3 1313所以b的值为，sin A的值为.133 1313(2)由(1)及a0，所以新三角形中最大的角是bd2cd2ad2 2bdcd2bd2cdd22ad 2bdcd22一个锐角，故选 A.3(2018太原模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，则下列关系一定不成立的是( )33Aac BbcC2ac Da2b2c2解析：选 B 由余弦定理，得 cos A，则A30.又b2c2a2 2bc3bc2bc32ba，由正弦定理得 sin Bsin Asin 30，所以B60或 120.当33332B60时，ABC为直角三角形，且 2ac，可知 C、D 成立；当B120时，C30，所以AC，即ac，可知 A 成立，故选 B.4在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则 cosDAC( )A. B.10103 1010C. D.552 55解析：选 B 如图所示，设CDa，则易知ACa，ADa，在ACD中，52CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)2522aacosDAC，cosDAC.253 10105在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，则 tan C等于( )A. B.3 44 3C D4 33 4解析：选 C 因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab，则由面积公式与余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即 sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即4，sin2C4sin Ccos C4cos2C sin2Ccos2C所以4，tan2C4tan C4 tan2C1解得 tan C 或 tan C0(舍去)4 3236在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2c2a2bc，0，a，则bc的取值范围是( )ABBC32A. B.(1，3 2)(32，32)C. D.(1 2，3 2)(1 2，3 2解析：选 B 在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理可得 cos A ，b2c2a2 2bcbc 2bc1 2A是ABC的内角，A60.a，32由正弦定理得1，a sin Ab sin Bc sin Cc sin120Bbcsin Bsin(120B) sin Bcos B3 232sin(B30)3|cos(B)0，ABBCABBCcos B0，所以c3.故ABC的面积Sbcsin A.1 23 32法二：由正弦定理，得，从而 sin B，7sin 32 sin B217又由ab，知AB，所以 cos B.2 77故 sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .(B 3) 3 33 2114所以ABC的面积Sabsin C.1 23 3212在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B(acos Bbcos A)ccos B.3(1)求B；(2)若b2，ABC的面积为 2，求ABC的周长3326解：(1)由正弦定理得，sin B(sin Acos Bsin Bcos A)sin Ccos B，3sin Bsin(AB)sin Ccos B，3sin Bsin Csin Ccos B.3sin C0，sin Bcos B，即 tan B.33B(0，)，B. 3(2)SABCacsin Bac2，ac8.1 2343根据余弦定理得，b2a2c22accos B，12a2c28，即a2c220，ac6，ac2a22acc2ABC的周长为 62.31在平面五边形ABCDE中，已知A120，B90，C120，E90，AB3，AE3，当五边形ABCDE的面积S时，则BC的取值范围为_6 3，33 34)解析：因为AB3，AE3，且A120，由余弦定理可得BE3，且ABEAEB30.AB2AE22ABAEcos A3又B90，E90，所以DEBEBC60.又C120，所以四边形BCDE是等腰梯形易得三角形ABE的面积为，9 34所以四边形BCDE的面积的取值范围是.15 34，6 3)在等腰梯形BCDE中，令BCx，则CD3x，且梯形的高为，33x2故梯形BCDE的面积为 (33x)，1 2333x2即 15(6x)x24，3解得x2或 4x5.3333答案：，2)(4，533332.如图，有一直径为 8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是ECF，点E，F在直径AB上，且ABC. 6 627(1)若CE，求AE的长；13(2)设ACE，求该空地种植果树的最大