1第十三单元第十三单元 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过椭圆过双基1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)当 2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当 2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当 2a|F1F2|时，P点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)x2 b2y2 a2图形范围by aybaax ，bx ，ab对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为，短轴B1B2的长为2a2b焦距|F1F2|2c离心率e ，e(0,1)c a性质a，b，c的关系c2a2b2小题速通1(2017浙江高考)椭圆1 的离心率是( )x2 9y2 4A. B.133532C. D.2 35 9解析：选 B 根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e a2b25c a.532在平面直角坐标系xOy中，ABC上的点A，C的坐标分别为(4,0)，(4,0)，若点B在椭圆1 上，则( )x2 25y2 9sin Asin C sinACA. B.4 35 3C. D.4 55 4解析：选 D 由椭圆1，得椭圆的半焦距为x2 25y2 94，则A(4,0)和C(4,0)为椭圆1 的两个焦x2 25y2 9点点B在椭圆1 上， 作出示意图如图所示，x2 25y2 9 .sin Asin C sinACsin Asin C sin B2a 2c5 43已知椭圆1(m0)的焦距为 8，则m的值为( )x2 25y2 m2A3 或 B341C. D3 或4141解析：选 A 当m5 时，焦点在x轴上，焦距 2c8，则c4，由 25m216，得m3；当m5 时，焦点在y轴上，焦距 2c8，则c4，由m22516，得m， 41故m的值为 3 或. 414若焦点在x轴上的椭圆1 的离心率为 ，则m_.x2 2y2 m1 2解析：因为焦点在x轴上，所以 0m2，所以a22，b2m，c2a2b22m.因为椭圆的离心率为e ，1 2所以e2 ，解得m .1 4c2 a22m 23 2答案：3 2清易错31求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)x2 a2y2 b22注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，x2 a2y2 b2|x|a，|y|b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因1已知椭圆1 的离心率为 ，则k的值为( )x2 9y2 4k4 5A21 B21C或 21 D.或2119 2519 25解析：选 D 当 94k0，即50，c0.(1)当 2a|F1F2|时，P点不存在2标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)；x2 a2y2 b2(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)y2 a2x2 b23双曲线的性质标准方程1(a0，b0)x2 a2y2 b21(a0，b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxb ayxa b离心率e ，e(1，)c aa，b，c的关系c2a2b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|；2a线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|；2b5a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长小题速通1(2017天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线x2 a2y2 b2的渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )A.1 B.1x2 4y2 12x2 12y2 4C.y21 Dx21x2 3y2 3解析：选 D 由OAF是边长为 2 的等边三角形可知，c2， tan 60.又b a3c2a2b2，联立可得a1，b，双曲线的方程为x21.3y2 32已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为yx，则双曲线的标准方程是( )3A.1 B.17x2 16y2 12y2 3x2 2Cx21 D.1y2 33y2 23x2 23解析：选 C 由双曲线的一条渐近线方程为yx，3可设其方程为x2(0)y2 3又双曲线过点(2,3), 则22， 解得1，32 3所以双曲线的方程为x21，即x21.y2 3y2 33(2018张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的x2 a2y2 b2左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A. B47C. D.2 333解析：选 A 依题意得|AB|AF2|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|2a，|BF2|4a，|F1F2|2c，因为ABF2为等边三角形，所以F1BF2120，由余弦定理，可得 4a216a222a4a 4c2，整理得 ，故选 A.1 2c a764已知F为双曲线C：1 的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长x2 9y2 16的 2 倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析：由题意得，|FP|PA|6，|FQ|QA|6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|FQ|28，所以PQF的周长为|FP|FQ|PQ|44.答案：44清易错1注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为 ，当焦点在y轴上，渐近线斜率为 .b aa b1双曲线1(0m3)的焦距为( )x2 36m2y2 m2A6 B12C36 D2362m2解析：选 B c236m2m236，c6，双曲线的焦距为 12.2已知直线l：4x3y200 经过双曲线C：1 的一个焦点，且与双曲线Cx2 a2y2 b2的一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为( )A3 B4C6 D8解析：选 C 双曲线C：1 的焦点在x轴上，直线l：4x3y200 与x轴x2 a2y2 b2的交点为(5,0)a2b2c225.直线l：4x3y200 与双曲线C：1 的一条渐近线平行， . x2 a2y2 b2b a4 3由解得a3，双曲线C的实轴长为 2a6.抛物线过双基1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线72抛物线的标准方程与几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点F(p 2，0)F(p 2，0)F(0，p 2)F(0，p 2)离心率e1准线方程xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0p 2|PF|x0p 2|PF|y0p 2|PF|y0p 2小题速通1已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线1 的右焦点，则此抛物线的方程为( )x2 13y2 12Ay22x By24xCy210x Dy220x解析：选 D 双曲线1 的右焦点为(5,0) ，x2 13y2 12由题意，设抛物线方程为y22px(p0) ，抛物线的焦点为双曲线1 的右焦点，x2 13y2 12 5，p10，p 2抛物线方程为y220x.2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为 1，则点M的纵坐标是( )A. B.17 1615 16C. D07 88解析：选 B 点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y，设1 16M(x，y)，则y1，1 16故y.15 163若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为( )A2 B.1 2C. D. 1 41 8解析：选 D 设点P到准线的距离为d，则有|PF|d，又抛物线的方程为y2x2，即x2y, 1 2则其准线方程为y ，1 8所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值 ，1 8即|PF|的最小值为 .1 84已知抛物线y26x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的 2 倍，则该点的横坐标为_解析：可知抛物线y26x的焦点F，设P(x，y)，x0.(3 2，0)由抛物线的定义，得点P到焦点的距离d1x x ，p 23 2点P到y轴的距离d2x.由x 2x，解得x ，该点的横坐标为 .3 23 23 2答案：3 2清易错1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p0 才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义1动圆过点(1,0)，且与直线x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_9解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24x2抛物线 8x2y0 的焦点坐标为_解析：由 8x2y0，得x2y.1 82p ，p，焦点为.1 81 16(0，1 32)答案：(0，1 32)直线与圆锥曲线的位置关系过双基1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为 0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即Error!消去y，得ax2bxc0.(1)当a0 时，设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；b0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线x2 a2y2 b233l交C于A，B两点，若AF1B的周长为 4，则椭圆C的方程为( )3A.1 B.y21x2 3y2 2x2 3C.1 D.1x2 12y2 8x2 12y2 4解析：选 A 由椭圆的性质知|AF1