第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则三、一阶微分形式不变性微分法则多元复合函数的求导法则 二、多元复合函数的高阶导数第八章 一 、多元复合函数求导的链式法则定理 如果函数u = (x, y) ,v = (x, y)在(x, y)点的两个的两个偏导数存在，且有链式法则公式(1):则复合函数Z =f (u, v) =f ( (x, y), (x, y)在点(x, y)偏导数都存在，函数Z = f (u, v)在对应点 (u, v)可微，公式 (1)还推广可到中间变量，外函数都是一般多元函数则有公式(2)(包括一元函数)的情形.例如:又例如:则有公式(3)再例如,例1. 设解:又如,当它们都具有可微条件时, 有注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,例2.解:例3. 设 求全导数解:练习1. 设解:二、多元复合函数的高阶导数注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号例4. 设 f 具有二阶连续偏导数,求解: 令则例5. 证明:证：利用对称性 , 有三、一阶微分形式不变性设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.例1 .例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解:所以内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如,2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量,3.四点注意练习P59 题7(2)类型 P59 题3改错 ：