1第四单元第四单元 导数及其应用导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过导数的基本运算过双基1基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x)1 xln af(x)ln xf(x)1 x2导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)fx gxfxgxfxgx gx23复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积小题速通1下列求导运算正确的是( )A.1 B(log2x)(x1 x)1 x21 xln 2C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x解析：选 B 1；(log2x)；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x1 x)1 x21 xln 22xcos xx2sin x，故选 B.2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为( )2A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2) D3(x2a2)解析：选 C f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)3函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是( )A. B.19 316 3C. D.13 310 3解析：选 D 因为f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，所以a.10 34(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：35函数y的导数为_ln2x1 x解析：yln2x1 xln2x1xxln2x1 x22x1 2x1xln2x1x22x 2x1ln2x1 x2.2x2x1ln2x1 2x1x2答案：y2x2x1ln2x1 2x1x2清易错1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中n0且nQ*，(cos x)sin x.2注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.1已知函数f(x)sin xcos x，若f(x)f(x)，则 tan x的值为( )1 2A1 B33C1 D2解析：选 B f(x)(sin xcos x)cos xsin x，又f(x)f(x)，1 2cos xsin x sin x cos x，1 21 2tan x3.2若函数f(x)2xln x且f(a)0，则 2aln 2a( )A1 B1Cln 2 Dln 2解析：选 A f(x)2xln 2 ，由f(a)2aln 2 0，得 2aln 2 ，则1 x1 a1 aa2aln 21，即 2aln 2a1.导数的几何意义过双基函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)小题速通1.(2018郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2 是曲线yf(x)在x3 处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)( )A1 B0C2 D4解析：选 B 由题图可知曲线yf(x)在x3 处切线的斜率等于 ，f(3)1 3 ，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题1 3图可知f(3)1，所以g(3)130.(1 3)2设函数f(x)xln x，则点(1,0)处的切线方程是_解析：因为f(x)ln x1，所以f(1)1，所以切线方程为xy10.答案：xy103已知曲线y2x2的一条切线的斜率为 2，则切点的坐标为_4解析：因为y4x，设切点为(m，n)，则 4m2，所以m ，则n22 ，则1 2(1 2)1 2切点的坐标为.(1 2，1 2)答案：(1 2，1 2)4函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y3x2，则f(1)f(1)_.解析：因为函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y3x2，所以f(1)3，且f(1)3121，所以f(1)f(1)134.答案：4清易错1求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者2曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别1若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9 都相切，则a等于( )15 4A1 或 B1 或25 6421 4C 或 D 或 77 425 647 4解析：选 A 因为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，3 0则在该点处的切线斜率为k3x，2 0所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3x x2x，又(1,0)在切线上，则x003 02 02 03 0或x0 ，当x00 时，由y0 与yax2x9 相切，可得a，3 215 425 64当x0 时，由yx与yax2x9 相切，可得a1，所以选 A.3 227 427 415 42.(2017兰州一模)已知直线y2x1 与曲线yx3axb相切于点(1,3)，则实数b的值为_解析：因为函数yx3axb的导函数为y3x2a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为 3a，所以Error!解得Error!答案：35利用导数研究函数的单调性过双基1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f(x)的关系(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间上是增加的(2)若f(x)0 或f(x)0 时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于 0 的，则在此区间内函数f(x)单调递增只有 D 选项符合题意3已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围为( )A(，2 B.6(，62C2，) D5，)6解析：选 C 由题意得f(x)2xa 0 在(1，)上恒成立3 x2x2ax3 xg(x)2x2ax30 在(1，)上恒成立a2240 或Error!2a26或a2a2，故选 C.6666清易错若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立若函数f(x)x3x2mx1 是 R 上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在 R 上是单调增函数，f(x)0 恒成立，412m0，即m .1 3答案：1 3，)利用导数研究函数的极值与最值过双基1函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值小题速通1如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 A 由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点2若函数f(x)x3ax23x9 在x3 时取得极值，则a的值为( )A2 B37C4 D5解析：选 D f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即 3(3)22a(3)30，解得a5.3(2017济宁一模)函数f(x)x2ln x的最小值为( )1 2A. B11 2C0 D不存在解析：选 A f(x)x ，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0)，1 xx2ax1 x因为函数f(x)x2axln x有极值，1 2令g(x)x2ax1，且g(0)10，所以Error!解得a2.答案：(2，)5设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x10 可得x1 或x0 且a1)，若f(1)1，则a( )Ae B.1 eC. D.1 e21 2解析：选 B 因为f(x)，所以f(1)1，所以ln a1，所以1 xln a1 ln aa .1 e2直线ykx1 与曲线yx2axb相切于点 A(1,3)，则 2ab的值为( )A1 B1C2 D2解析：选 C 由曲线yx2axb，得y2xa，由题意可得Error!解得Error!所以 2ab2.3函数y2x33x2的极值情况为( )A在x0 处取得极大值 0，但无极小值B在x1 处取得极小值1，但无极大值C在x0 处取得极大值 0，在x1 处取得极小值1D以上都不对解析：选 C y6x26x，由y6x26x0，可得x1 或x1，所以m1.5函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是( )A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：选D 依题意得f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，f(x)的单调递增区间是(2，)故选 D.6已知函数f(x)x(xm)2在x1 处取得极小值，则实数m( )A0 B1C2 D3解析：选B f(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以 f(x)3x24mx