- 1 -课时分层作业课时分层作业 五十七抛五十七抛 物物 线线一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.已知抛物线 y2=x,则它的准线方程为 ( )A.y=-2 B.y=2 C.x=- D.y=【解析】选 C.因为抛物线 y2=x,所以 p=,=,它的准线方程为 x=-. 2.(2018洛阳模拟)已知点 M 是抛物线 C:y2=2px(p0)上一点,F 为 C 的焦点,MF 的中点坐标是(2,2),则 p 的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选 D.F,那么 M在抛物线上,即 16=2p,即 p2-8p+16=0,解得 p=4.3.若抛物线 y2=2px(p0)上的点 P到其焦点 F 的距离是 P 到 y 轴距离的 3 倍,则 p 等于( )A. B.1C. D.2【解析】选 D.根据焦半径公式|PF|=x0+,所以 x0+=3x0,解得 x0=,代入抛物线方程=2p, 解得 p=2. 【变式备选】抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,P 是 C 上一点,若 P 到 F 的距离是 P 到 y 轴距离的两倍,且 三角形OPF 的面积为 1(O 为坐标原点),则 p 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.设点 P(x,y),根据已知可得 x+=2x,解得:x=,|y|=p,所以SOPF=p=1,解得 p=2. 4.(2018正定模拟)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线l过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1 或 y=-x+1- 2 -B.y=(x-1)或 y=-(x-1)C.y=(x-1)或 y=-(x-1)D.y=(x-1)或 y=-(x-1) 【解析】选 C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点 A,B 到准线 的垂线段 AA1,BB1,并设直线l交准线于点 M.设|BF|=m,由抛物 线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由 BB1AA1可知=,即=,所以|MB|=2m,则|MA|=6m.故AMA1=30,得AFx=MAA1=60,结合选项知选 C 项. 【一题多解】本题还可以采用以下方法:选 C.由|AF|=3|BF|可知=3,易知 F(1,0),设 B(x0,y0),则从而可解得 A 的坐标为(4-3x0,-3y0).因为点 A,B 都在抛物线上,所以解得 x0=,y0=,所以 kl=.【变式备选】已知抛物线 C:y2=4x 的焦点是 F,过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P,Q 两点,且点 Q 在第一象限,若 3=,则直线 PQ 的斜率是( )A.1 B. C. D.【解析】选 D.设 P,Q,由抛物线的方程可知,抛物线的焦点 F,因为 3=,则 3=,所以 y2=-3y1,又设过焦点的直线的斜率为 k,所以方程为 y=k,联立得方程组得 y2-y-4=0,所以 y1+y2=,y1y2=-4,代入可得 k=.- 3 -5.(2018石家庄模拟)已知双曲线 C1:-=1(a0,b0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为( )A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y【解析】选 D.因为-=1 的离心率为 2,所以=2,即=4,所以=.x2=2py 的焦点坐标为,-=1 的渐近线方程为 y=x,即 y=x.由题意得=2,所以 p=8. 故 C2的方程为 x2=16y. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.已知直线l1:3x-4y+7=0 和直线l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小 值是_ 【解析】抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F(1,0),准线方程是 x=-1,根据抛物线定义,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线l1和直线l2的距离之和可以看成抛物线 y2=4x 上一动点 P 到焦点和直线l1的距离之和,其最小值为焦点 F 到直线l1:3x-4y+7=0 的距离, d=2.答案:27.已知 P在抛物线 y2=2px(p0)上,且 P 到焦点 F 的距离为 10,则焦点 F 到准线的距离为_. 【解析】设点 P(8,a)在抛物线 y2=2px (p0)的准线上的射影为 M,则 M,依题意,|PM|=|PF|=10,即 8-=10,所以 p=4.即点 F 到抛物线准线的距离等于 4. 答案:4 【题目溯源】本考题源于教材人教 A 版选修 2-1 P67 练习 T3“抛物线 y2=12x 上与焦点距离等于 9 的点的 坐标是_” 【变式备选】已知抛物线 x2=y 上一点 A 到准线的距离为,则 A 到顶点的距离等于_. - 4 -【解析】p=,设 A(x,y),则 y+=,所以 y=1.代入抛物线方程得 x=1,所以A(1,1),|AO|=.答案:8.(2018重庆模拟)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 作直线l与抛物线分别交于两点 A,B,若点 M 满足=,过 M 作 y 轴的垂线与抛物线交于点 P,若|PF|=2,则 M 点的横坐标为_.【解析】抛物线 y2=4x 的焦点 F,由题意知,直线 AB 的斜率存在.设 A,B,M,P,直线 AB 方程为 y=k,所以,所以 ky2-4y-4k=0, 所以 y1+y2=,所以 y0=,因为 = 4x,所以 x=,因为|PF|=2,所以 x=1,k2=1,所以x0=+1=3. 答案:3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.(2018威海模拟)如图,已知抛物线 C1:y=x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直 线 PA,PB 分别与抛物线 C1和圆 C2相切,A,B 为切点.(1)求点 A,B 的坐标. (2)求PAB 的面积. 【解析】 (1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t).- 5 -由消去 y,整理得 x2-4kx+4kt=0, 由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t. 因此,点 A 的坐标为(2t,t2). 设圆 C2的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0). 由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,故解得因此,点 B 的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t,直线 PA 的方程为 tx-y-t2=0.点 B 到直线 PA 的距离是 d=.设PAB 的面积为 S(t),则 S(t)=|AP|d=.10.(2018衡水模拟)已知抛物线 C:y2=ax(a0)上一点 P到焦点 F 的距离为 2t.(1)求抛物线 C 的方程. (2)抛物线上一点 A 的纵坐标为 1,过点 Q(3,-1)的直线与抛物线 C 交于 M,N 两个不同的点(均与点 A 不重 合),设直线 AM,AN 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则 a=4t,由点 P在抛物线上,则 at=.所以 a=,则 a2=1, 由 a0,则 a=1,- 6 -故抛物线的方程为 y2=x. (2)因为 A 点在抛物线上,且 yA=1. 所以 xA=1, 所以 A(1,1),设过点 Q(3,-1)的直线l的方程 x-3=m(y+1).即 x=my+m+3, 代入 y2=x 得 y2-my-m-3=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以 k1k2=-,为定值. 【变式备选】已知点 A(2,1)在抛物线 E:x2=ay 上,直线l1:y=kx+1(kR,且 k0)与抛物线 E 相交于 B,C 两点,直线 AB,AC 分别交直线l2:y=-1 于点 S,T. (1)求 a 的值.(2)若|ST|=2,求直线l1的方程.【解析】(1)因为点 A(2,1)在抛物线 E:x2=ay 上, 所以 a=4. (2)由(1)得抛物线 E 的方程为 x2=4y. 设点 B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意得=4y1,=4y2,由消去 y,得 x2-4kx-4=0,解得 x1,2=2k2.所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.直线 AB 的斜率 kAB=,故直线 AB 的方程为 y-1=(x-2).- 7 -令 y=-1,得 x=2-(由题意知x1+20),所以点 S 的坐标为.同理可得点 T 的坐标为.所以|ST|=,因为|ST|=2,所以|x1-x2|=2|k|.由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得 20k2=16k2+16,解得 k=2 或 k=-2, 所以直线l1的方程为 y=2x+1 或 y=-2x+1.1.(5 分)(2018玉溪模拟)若抛物线 y2=2px(p0)上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方 程为( )A.y2=4xB.y2=6x C.y2=8xD.y2=10x【解析】选 C.因为抛物线 y2=2px,所以准线为 x=-. 因为点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,所以 2+=4,所以 p=4,- 8 -所以抛物线的标准方程为 y2=8x. 2.(5 分)(2018永州模拟)已知点 M,N 是抛物线 y=4x2上不同的两点,F 为抛物线的焦点,且满足MFN=135,弦 MN 的中点 P 到直线l:y=-的距离为 d,若|MN|2=d2,则 的最小值为( )A.B.1-C.1+D.2+【解析】选 D.抛物线 y=4x2的焦点 F,准线为 y=-,设|MF|=a,|NF|=b,由MFN=135,可得|MN|2=|MF|2+|NF|2-2|MF|NF|cos MFN=a2+b2+ab, 由抛物线的定义可得 M 到准线的距离为|MF|,N 到准线的距离为|NF|,由梯形的中位线定理可得 d=(|MF|+|NF|)=(a+b),由|MN|2=d2,可得=1-1-=1-=,可得 2+,当且仅当 a=b时,取得最小值 2+.【变式备选】(201 8衡水模拟)焦点为 F 的抛物线 C: y2=8x 的准线与 x 轴交于点 A,点 M 在抛物线 C 上,则当取得最大值时,直线 MA 的方程为 ( ) A.y=x+2 或 y=-x-2B.y=x+2 C.y=2x+2 或 y=-2x+2D.y=-2x+2 【解析】选 A.- 9 -过 M 作 MP 与准线垂直,垂足为 P,则=,则当取得最大值时, MAF 必须取得最大值,此时直线 AM 与抛物线相切,可设切线方程为 y=k,与 y2=8x联立,消去 x 得 ky2-8y+16k=0,所以 =64-64k2=0,得 k=1.则直线方程为 y=x+2 或 y=-x-2. 3.(5 分)(2016浙江高考)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_. 【解析】由抛物线定义得 xM+1=10xM=9. 答案:94.(12 分)(2017北京高考)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点作直线l与抛物线 C 交于不 同的两点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程. (2)求证:A 为线段 BM 的中点.【解析】(1)把 P(1,1)代入 y2=2px 得 p=,所以 C:y2=x,所以焦点坐标,准线:x=-.(2)设l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由题知 A(x1,x1),