- 1 -课时分层作业课时分层作业 二十八平面向量的数量积及应用举例二十八平面向量的数量积及应用举例一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知向量 a a=(1,m),b b=(3,-2)且(a a-b b)b b,则 m=( )A.-8B.-5C.5D.8 【解析】选 B.由(a a-b b)b b 知:(a a-b b)b b=0, 所以 a ab b-b b2=0,即 3-2m-13=0, 所以 m=-5. 2.已知平面向量 a a 与 b b 的夹角为 60,a a=(2,0),|b b|=1,则|a a+2b b|=( )A.B.2C.4D.12【解析】选 B.由题得,|a a+2b b|2=a a2+4a ab b+4b b2=4+421c cos 60+4=12.所以|a a+2b b|=2.3.已知向量 a a,b b 满足|a a|=1,b b=(2,1),且 a ab b=0,则|a a-b b|=( )A.B.C.2D.【解析】选 A.|a a|=1,b b=(2,1),且 a ab b=0,则|a a-b b|2=a a2+b b2-2a ab b=1+5-0=6,所以|a a-b b|=.4.已知ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足=,=(1-),R,若=-,则= ( )A.B.C.D.【解析】选 A.因为=-,所以-=-+=-4-4+2=-22+2-2,解得 =. 【一题多解】- 2 -选 A.如图建立平面直角坐标系, 设 A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设 P(x1,0),Q(x2,y2),由=,得 x1=2-1,由=(1-),得 x2=-;y2=(1-),于是=(-1,(1-),=(2-1,-),由=-得:(-1)(2-1)-3(1-)=-,解得 =. 【变式备选】在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60, 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD上,且=,=, 则的值为_. 【解析】在等腰梯形 ABCD 中, 由 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60,得=,=1,=-1,= ,所以=+=1+-=.答案:- 3 -5.(2015安徽高考)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a a,b b 满足=2a a,=2a a+b b,则下列结论正确的是( )A.|b b|=1B.a ab bC.a ab b=1D.(4a a+b b)【解析】选 D.因为=-=(2a a+b b)-2a a=b b,所以|b b|=2,故 A 错误;由于=2a a(2a a+b b)=4|a a|2+2a ab b=4+212=2, 所以 2a ab b=2-4|a a|2=-2, 所以 a ab b=-1,故 B,C 错误;又因为(4a a+b b)=(4a a+b b)b b=4a ab b+|b b|2=4(-1)+4=0,所以(4a a+b b).二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.若非零向量 a a,b b 满足|a a|=3|b b|=|a a+2b b|,则 a a,b b 夹角 的余弦值为_. 【解析】|a a|=|a a+2b b|,两边平方得,|a a|2=|a a|2+4|b b|2+4a ab b=|a a|2+4|b b|2+4|a a|b b|cos . 又考虑到|a a|=3|b b|,所以 0=4|b b|2+12|b b|2c cos ,得 cos =-.答案:-7.(2018济南模拟)已知 A(-1,c cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O 为坐标原点),则锐角=_. 【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以 OA,OB 为邻边所作平行四边形 OADB 的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知 OAOB.因此=0,所以锐角 =.答案:- 4 -【一题多解】坐标法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得 sin =cos ,于是锐角 =.答案:【变式备选】已知 a a=(1,1),b b=(cos ,sin ).若 a ab b,则 =_. 【解析】因为 a ab b,所以 cos =sin ,则 ta an =1,又因为 0,所以 =,=.1.(5 分)已知平面向量 a a,b b,若|a a|=,|b b|=2,a a 与 b b 的夹角 =,且(a a-m b b)a a,则 m=( )A.B.1C.D.2【解析】选 B.因为平面向量 a a,b b,若|a a|=,|b b|=2,a a 与 b b 的夹角 =,且(a a-mb b)a a,所以(a a-mb b)a a=a a2-m a ab b=3-m2c cos=0,求得 m=1.2.(5 分)(2018济南模拟)设非零向量 a a 与 b b 的夹角是,且|a a|=|a a+b b|,则的最小值是( )A.B.C.D.【解析】选 B.因为非零向量 a a 与 b b 的夹角是, 且|a a|=|a a+b b|, 所以|a a|2=|a a+b b|2=|a a|2+|b b|2+2|a a|b b|cos,所以|b b|2-|a a|b b|=0,所以|b b|=|a a|,所以=t2-2t+=(t-1)2+,- 7 -所以当 t=1 时,取最小值=.3.(5 分)在ABC 中,已知 AB=3,BC=2,D 在 AB 上,=,若=3,则 AC 的长是_.【解析】因为=,所以=-,=+=-+,所以=-=-=4-=3,所以=,所以 32c cos B=,所以 c cos B=. 在ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCc cos B=10.所以 AC=.答案:4.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数 t 满足(-t)=0,求 t 的值.【解析】(1)方法一:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为 4,2.方法二:设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 BC 的中点,E(0,1),- 8 -又 E(0,1)为 AD 的中点,所以 D(1,4).故所求的两条对角线的长分别为 BC=4,AD=2.(2)由题设知:=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=-.或者:=t,=(3,5),t=-. 5.(13 分)(2018石家庄模拟)已知 A,B,C 分别为ABC 的三边 a,b,c 所对的角,向量 m m=(sin A,sin B), n n=(cos B,cos A),且 m mn n=sin 2C.(1)求角 C 的大小.(2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且(-)=18,求边 c 的长.【解析】(1)由已知得 m mn n=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B), 因为 A+B+C=, 所以 sin(A+B)=sin(-C)=sin C, 所以 m mn n=sin C. 又 m mn n=sin 2C,所以 sin 2C=sin C,所以 cos C=.又 0C,所以 C=. (2)由已知得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得 2c=a+b.因为(-)=18,所以 abcos C=18,所以 ab=36. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab 所以 c2=4c2-336, 所以 c2=36,所以 c=6.