1分式有意义的条件及基本性质分式有意义的条件及基本性质1.1. 分式有意义的条件分式有意义的条件分式有意义的条件：分式的分母不等于零。分式的值为零的条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0。这两个条件缺一不可。2.2. 分式的基本性质分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除）以同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为：，其中 A、B、C 都是整式。CBCA BA CBCA BA 0C注意条件：C 是一个不等于 0 的整式，如，其中必须满足；1412 1212xx x012x要深刻理解“都” “同一个”两个关键的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；若分式的分子或分母是多项式，要先用括号把分子或分母括上，再乘（或除）以同一整式C；分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。3.3. 分式的约分、通分分式的约分、通分2例题例题 1 1 若分式的值为零，则 x 的值为_。1 1- +x x解析：解析：分式的值为零的条件是：（1）分子0；（2）分母不等于零；两个条件需要同时具备，缺一不可，从而可以解答本题。答答案案：解：101-=+x x则，即，10x -=1x 且，即，10x 1x 故 x1。所以若分式的值为零，则 x 的值为 1。1 1- +x x点拨：点拨：本题考查了分式值为零的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零。解析定义解析定义方法技巧方法技巧注意条件注意条件约分约分利用分式的基本性质，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。找公因式方法：约去系数的最大公约数；约去分子、分母相同因式的最低次幂。约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解，再找出分子和分母的公因式进行约分。通分通分利用分式的基本性质，是把几个异分母的分式分别化成相同分母的分式。通分保证：（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相同。确定最简公分母的方法：各分母系数的最小公倍数；各分母所含有的因式；各分母所含相同因式的最高次幂；所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数） 。通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母；分子或分母是多项式，能分解则必先进行因式分解，再确定最简公倍数进行通分。3例题例题 2 2 _。2241124 1111-+-+a aaaa解析解析：先将前两个分式通分，将所得的结果再与后面的式子通分，依次计算即可。答答案案：解：原式2241124 1111-+-+a aaaa2224224468224111441181-=- -+-=- -+= - -aaaaaaaaaa点拨：点拨：本题考查了通分，解决此题的关键是找到各分母的最简公分母。巧用整体代入求值技巧巧用整体代入求值技巧在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。拓展：拓展：（芜湖中考）已知，则代数式的值为_。113xy-=2142 2xxyy xxyy- -解析：解析：由，通分可得：yx3xy，然后将其代入原式变化后的式子即可求值。113xy-=答答案案：解：113xy-=3yxxy又，22142()14 ()2()2xyxyxyxy xyxyxyxy-=-原原将 yx3xy 代入得：2 ( 3) 14204325xyxyxy xyxyxy 原原故答案：4点拨：点拨：解决本类题型的关键是根据分式的基本性质化简分式，运用整体代入的数学思想，比如4本题将，变形为 yx3xy，代入求值。113xy-=（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题*1. 如果代数式有意义，那么的取值范围是（ ）1x x-A. B. C. D. 且0x 1x 0x0x 1x *2. 若分式不论 x 取何值总有意义，则 m 的取值范围是（ ）mxx 212A. B. m1 C. D. m解：分式不论取何值总有意义，则其分母必不等于，即把分母整理成212xxm-+的形式为20()()abk k+，2221111()()()xxmxm-+-=-+-因为不论取何值都不等于，2221111()()()xxmxm-+-=-+-所以10，即1故选 B。3. D 解析：按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案。解：A. 最简公分母为，正确。223()()xx-+B. ，通分正确。2213 223()()()x xxx+=-+C. ，通分正确。213 2323()()()()x xxxx+=-+-+D. 通分不正确，分子应为。2 (2)24xx -=-故选 D。4. B 解析：中分子分母没有公因式，是最简分式；中，有公因式（a-b） ；22baba bababa 中，有公约数 4；baa 124 baa 344故和是最简分式。故选 B。5. D 解：3-2=0，3=2，xyxy=，若 x=y=0，则分式无意义，yx 327故选 D。二、填空题6. 不变 解析：依题意分别用 10a 和 10b 去代换原分式中的 a 和 b，利用分式的基本性质化简即可。解：分别用 10a 和 10b 去代换原分式中的 a 和 b，得，可见新分式与原分式相等。2 101022 101010()aaa ababab=+7. 解析：把分式进行化简就是对分式进行约分，首先要对分子、分母进行分解因式，aba 把互为相反数的因式化为相同的因式。解：。222()() ()abab abab a abaaab-+-=+8. 解析：a：b：c=2：3：5，217可设 a=2k、b=3k、c=5k，=。222acb 222253kkk 217故答案为：。217三、解答题9. 解析：分式无意义即分母为 0；分式的值为 0 的条件是：（1）分子0， （2）分母不等于 0，两个条件需同时具备，缺一不可；分式的值为负，分式的分子、分母异号。答案：（1）要使分式有意义，则分母不为 0，即；5250,2xx-（2）因为，所以，2111 1111()()xx xxxx-=-+-1x所以无论取何值时分式都不为，即不存在。（3）要使分式的值为负数，则，所以32230()()xx-+10. 解析：分式有意义的条件就是分母不等于 0。答案：解：因为当分母不为时，分式有意义；小明的做法错误在于他先把分式约分，使原来的分式中字母的取值范围缩小了。小丽的做法正确。11. 解析：先通分，化为同分母的分数，再运用平方差公式将分子写成平方的形式，再做比较。8答案：222007200920081 2008120081 2008 20092008 20092008 2009()()a-+-=22008 2008 2009b=又222200812008-ba 12. 解析：根据题中所给的式子找出规律，根据此规律找出所求式子。答案：解：（）规律是任意一个分式除以532752232;()xxxxxx yyyyyy-= -= -前面一个分式恒等于；2x y-（2）因为由式子：发现分母上是故第 7 个式子分母上3579234,xxxx yyyy-,321yyy是；分子上是，故第 7 个式子是，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个7y3x5x7x15x为正，所以第 7 个分式应该是。157xy