2.5 定态薛定谔方程解的算例 定态薛定谔方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程在一维条件下求解微分方程，需要利用一定的边界条件求出本征函数的表 达式和本征值E的数值目的：通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其物理意义1、一维简谐振子势 势能势能函数是 一条抛物线哈密顿方程为：谐振子势能为V(x)、 质量为m的粒子由于待定，变系数的常微分方程谐振子的角频率方程化为其通式为：前5个厄米多项式为：偶函数奇函数 波函数的空间 对称是偶性的， 就称宇称是偶 性的偶宇称奇宇称波函数的图形零点能 所以谐振子的能量本征值为:由谐振子的角频率谐振子的能量是等间隔的分立能级， 而且量子数n取最小值0时，谐振子的能量并不为0。这也意味着，量子束缚态的动能不可能为零，与经典的情况不相同！这是波粒二象性的 表现，它满足不确 定关系的要求！谐振子的几率分布 在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零微观粒子运动的特点：它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。这在经典理论看来是不可能出现的！ 物理意义：1）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级的间距为 。能量本征值只能取一些不连续的值。2）最低能态的总能量（或称之为零点能）为：3）位于谐振子势井中的质点，量子力学的结果：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最大。经典力学则认为：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最小。当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致！当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐 振动或晶体点阵上的原子振动处于基态对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着 量子的束缚态是不可能为零的。例题1：设想一个质量为m=1g的小球，悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为 A=1mm的简谐振动。弹簧系数为k=0.1N/m。按量子理论计算：1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？ 例题2： HCL气体能强烈吸收波长为3.465um的红红外辐辐射。这这是HCL分子振子吸收入射光子能量的结结果。 求：1）振子的振动频动频 率；2）绝对绝对 零度时时一摩尔HCL气体的总总振动动能量。2、一维无限深势阱 如图，中，势能为0； 、中，势能为不分区的哈密顿方程I区中IIIIIIE:动能0通解为目的：了解势井中量子状态的特点， 分立能级、零度能等。为无限深势 阱中势能是常 量，粒子不受 力做自由运动令II、III区中哈密顿方程为：其形式上的通解：依据波函数的边界条件表明：势阱外的波函数为0由于 就有上式该齐次方程非 零解的条件为：势井中波函数 ，在井壁上必定为0，所以边界条件为：即有因而有即而势井中粒子的 能量本征值1）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点 结论：进一步确定 本征函数2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：势阱中的位置不确定量为xa不可能有若对波函 数归一化当 时，依据边界条件，有归一化条件 就是粒子在 整个空间内 出现的总概 率为1可得偶宇称奇宇称粒子的能量本征 函数与坐标关系偶函数奇函数偶宇称奇宇称概率密度图形 由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：1）这里由粒子的波动性给出的概率密度的周期性分布与经典粒子分布完全不同。按经典理论，粒子在阱内来来回回自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子的能量无关。 2）与经典粒子不同的第二点。由量子粒子的 最小能量为：这符合不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态3）由粒子的能量公式，可得到势阱中粒子的动量:相应地，粒子的德布罗意波长为：该波长也量子化了，它只能是势阱宽度两倍的整数分之一。它就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。无限深势阱中粒子的每一个能量本征态，对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波!例题在原子核 内的质子和中子可粗略的看成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）到基态（n=1）转变时，放出的能量是多少MeV?例题根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和第一激发态叠加而成，前者的幅是1/2 ，后者的幅是 （这就意味着基态的基本概率是1/4，第一激发态的基本概率是3/4）。试求这一叠加态的概率分布。3、阶跃势定义：势能在空间某一位置由一个值突然变为另一个值的势场。粒子在阶跃势场中的运动在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：a)对x0区域要使 满足“有限”的要求，必须要求C=0。要使波函数连续，在x=0的位置应该有：b) x0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：其通解为：如果这两个区域波函数满足物理条件，那么这四个解它一定是单值、有限和连续，否则就不满足波函数的标准条件。首先它们满足单值性的要求把两个区域中的通解代入上两式，可以得到：于是另外，势能在全区域有限，且波函数和能量E 也有限，从而波函数的二阶导数也将有限。因此，要求其一阶导数连续，有：D为任意常数 ，它取决于波 函数振幅的大 小，可由归一 化条件确定 物理意义：X0，它们的概率密度为：在此区域随x的增大而随指数快速衰减，但在x=0的附近不为零。 表明，在X0的区域有一定的几率能够发现或找到粒子的可能！由上式可知，出现这种几率只在x=0的很小的区域内，即它常称为：透入距离范围内才有显著的值，超过此范围将快速趋于零 在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动，要想越过这个势能区是完全不可能的！ 但按照量子力学理论给出，其势能大于总能量的区域内，即势阱之外，波函数并不等于零。 说明粒子仍有一定的概率密度，虽然这个概率密度是以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的，意味着但它可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。如何理解量子力学给出的这一结果？为什么粒子的动能可能有负值？ 在区（EV0）可以看做粒子进入该区域的典型深度，在该处发现粒子的概率已降为1/e。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置不确定度。即这要归之于不确定关系！若根据不确定关系，粒子在这段距离内的动量不确定度为：粒子进入的速度可以认为是于是粒子进入的时间不确定度为：由此，按能量时间不确定关系式，粒子能量的不确定度为此时，粒子的总能量将是粒子在到达区域内，其动能的不确定度大于其名义上的负动能值。因此，该负动能只不过是被不确定关系“掩盖”了，它只是一种观察不到的“虚”动能。这和实验上能观察到的能量守恒并不矛盾。4、方势垒 方势垒如图所示，哈密顿方程为通解通解方程同区，但这里无反射波，故 如果粒子是从势垒的左边入射，通解 中表示从左侧入射的波(粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子)由于在势垒右侧原来没有粒子，所以 B3 =0于是表示贯穿势垒后而透射过来的波(粒子)可以计算出粒子流量，用几率流密度表示粒子从I区经过势垒进入III区，称作势垒贯穿或隧道效应。可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：一阶微商连续 粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率还可用如下方法计算入射粒子的概率(几率)幅反射粒子的概率幅贯穿势垒的粒子的几率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出： 通常只需计算向右运动的粒子。如果势垒的高度V0比入射粒子能量E大得多，或势垒较宽时，即物理意义：1）能量E小于势垒高度的粒子确实有一定的几率穿越势垒。透射系数T与势垒宽度a、(V0 E)和粒子质量有关2）随着势垒宽度a的增加，透射率T按指数衰减。若把上式简单看做主要是由指数部分决定的，于是如果在势垒内部距表面距离为d处，几率衰减为表面的1/e，则d被定义为粒子在势垒中的穿透深度：透射 系数例：试求入射电子能量为1ev，势垒高度为2ev，宽度为的 几率。如果粒子是质子，求透射系数。解：由势垒宽度电子：质子：其质量是电子的1840倍，质子的质量约为940MeV 例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a=10cm，V0-E=1eV，穿透几率约为：几乎不能穿透！这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV，其量子效应也是极其不明显的。而对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了！l l经典经典l l量子量子聊斋志异中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙 而过。虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定 道理的，只不过是概率“小”了些而已。 利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的粒子衰变现象 如果一核半径为R，粒子在核内由于核力的作用，其势能很低。在核边界有一个因库仑力而产生的势垒。例如： 核，其库仑势垒可达35Mev，而这种核在粒子衰变过程中放出的粒子的能量 不过4.2Mev。理论计算表明这些粒子就是通过隧道效应穿透库仑势垒而跑出来的。粒子衰变解释 热核反应所释放的核能是两个带正电的核，如 和 ，聚合时产生的。这两个带正电的核靠近时受到库仑斥力作用很难结合在一起。这个斥力作用就相当于一个高势垒，它们就是通过隧道效应而聚会到一起的。 这些核的能量越大，它们要穿过的势垒厚度就越小，聚合的概率就越大。这就是为什么热核聚变反应需要高达 的高温的原因。热核聚变解释 黑洞的边界是一种物质（包括光），只能进不能出的“单向壁”。该单向壁对黑洞内的物质来说就是一个绝高的势垒。 理论物理学家霍金(S.W.Hawking)认为黑洞并不是绝对黑的。黑洞内部的物质能通过量子力学隧道效应而逸出。 但他估计这种过程很慢。一个质量等于太阳质量的黑洞温度约为 ，约需要 年才能完全“蒸发”消失。 不过据信产生于宇宙大爆炸初期有些微型黑洞(质量大约是太阳的 倍) ，经过 年到现在已经蒸发完了。黑洞的解释扫描隧穿显微镜工作原理 1981年瑞士苏黎世IBM公司的两位科学家宾宁(G.Bonning)和罗赫尔(H.Rohrer),研制成了一种扫描隧穿显微镜(STM)可以精确观察材料表面结构，因而成了研究物理表面和其它实验的重要显微工具。由于这一卓越贡献，他们二人和电子显微镜的发明者鲁斯卡(E.Ruska)分享了1986年度的诺贝尔物理学奖。 1988年我国科学家设计成了新型的STM，分辨率可达原子量级，图像质量到达当时国际水平。为进一步探索微观世界的奥秘提供了必要的物质基础。通常，金属或介质中的电子，不能自由逸出表面，因为它 的能量低于表面外的空间的势能(零)。如果针尖与待测物之间 距离极近，这空隙相当于一个高度有限而宽度很小的势垒。在针尖与平面间加一个小于几伏的电压，在这电压下，针 尖中的电子还不能越过“空隙”这一势垒进入平面，但有一定 的概率穿越势垒，形成“隧道电流”。隧道电流的大小对势垒宽度(针尖到平面的距离)的变化非 常敏感。当针尖沿平面扫描时，通过隧道电流的变化，便能描 绘出平面高低变化的轮廓。扫描隧道显微镜(STM)分辨率极高， 其横向分辨率达0.1nm,纵向为0.01nm，可分辨出单个原子。STM技术不仅可用来进行材料的表面分析，直接观察表面缺 陷，还可利用STM针尖对原子和分子进行操纵和移动，重新排布 原子和分子。应用到生命科学中，可研究DNA分子的构形等。 ABdEU0U0U0电子云重叠ABU隧道电流id探针样品用隧道效应观察样品表面的微结构图象处理系统扫描探针样品表面电子云d变 i变 反映表面情况A-常数样品表面平均 势垒高度(eV)d10隧道 电流反馈传感器参考信号显示器压电 控制加电压扫描隧道显微镜示意图操纵原子不是梦 “原子书法”1994年中国科学院科学家“写”出的平均每个字的面