第八课期权定价模型 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002期权定价中的难点 债券和股票的估价：贴现现金流 期权的估价- DCF 不适用- 给定到期日标的资产价格的分布，可以很容易地计算期权在到期日的收益- 难于估计折现率 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002二项式期权定价模型 要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何 变动 简单但非常有力的一个模型是二项式模型- 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能有两个可能的取值- 当时间间隔足够短，这是很好的近似- 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理- 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002单期二项式模型 收益率被定义为价格的相对数 期望收益率= 1.1 期望方差 = 0.09 $140 $80 $100今日1 年概 率北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002通过复制来给期权定价 为了给衍生证券定价，可以构造一个股票和 无风险投资的组合来复制该衍生证券在到期 日的收益 这个组合称为合成的衍生证券 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格 组合的合成等同于对冲 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002无套利原则与 对衍生证券的定价 今日到期日交易的 衍生证券合成的 衍生证券收益相同交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002单期：给欧式看涨期权定价 欧式看涨期权： $40今日1 年概率北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 组合(合成看涨期权) = 股票+ 无风险资产 组合复制了该期权在到期日的收益 1.10 = 今天的$1投资在1年后的财富 解方程组得到 的负号意味者借入 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 无套利要求 含义： p 的值从未使用过 期望收益率无关紧要! 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002单期二项式期权定价的一般化 今日1 年概率北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 该组合复制了该看涨期权在到期日的收益 解方程组得到：，和 无套利要求： 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002风险中性定价 很自然可以被解释为是股票价格上涨的概率 (风险中性概率或等价鞅测度) 可以被解释为是该看涨期权在 到期日的收益 该期权的价值是它在到期日的期望收益按无 风险利率折成的现值 在 下, 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Delta对冲组合 的符号为正，意味着投资 由 股股票和一个看涨期权空头构成的组合等价于无风险投资 该组合经常被称为无风险对冲组合， (delta) 被称为 套头比（hedge ratio） 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes期权定价模型 期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性 来源 无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造 无风险组合必然获得无风险利率 这导致了Black-Scholes偏微分方程 (PDE) 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes模型的假设 完美的资本市场，没有套利机会 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布 朗运动 短期利率已知，并且不随时间发生变化 在期权的有效期内，标的股票不发放股利北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002股票价格的动态过程 连续时间模型假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）其中：期望收益率：波动率 (假设为常数)：标准Wiener过程 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 离散时间近似 Z为Wiener过程，则 其中是 n(0,1)分布的一个随机实现 任意互不重叠的两期的 的取值相互独立北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Wiener过程的特征 的均值为0 的方差为T-t 的标准差为 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002股票收益率的特征 从时间t到T 收益率的均值为 从时间t到T 收益率的方差为 从时间t到T 收益率的标准差为 收益率的分布： ，其中北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002股票收益率的分布 股票价格服从对数正态分布，即：北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes 偏微分方程 的导出 构造一个组合 ，该组合的构成如下： 1单位衍生证券的空头 股股票多头北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 组合的价值为： 在跨度为 的短期内，它的价值的变动为：北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 因为该组合的收益率没有不确定性，所有它 必须等于无风险利率。因此 从上述两个方程，就可以得到Black-Scholes 偏微分方程：北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 该偏微分方程不包括！ 投资者的偏好不起 作用！ 任何其价格依赖于标的股票价格的衍生证券 都满足上述偏微分方程 不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方 程的边界条件 对于欧式看涨期权，边界条件为 对欧式期权解上述偏微分方程，就得到Black- Scholes期权定价模型北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes 公式 式中，是标准正态分布的累积概率分布函数北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes 模型 在风险中性定价下的导出 利用风险中性概率算出期权在到期日的期望 收益 用无风险利率对期望收益进行折现北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002 欧式看涨期权的价值由下式给出： 由下式给出 进行一些简单的代数运算就可以得到Black-Scholes公 式北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002期权价格的决定因素 正的变化看涨期权看跌期权股票价格, S执行价格, X波动率, 距离到期日的时间, 无风险利率, r现金股利, d北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Black-Scholes公式的应用 , , 年, （按连续复利计息）以及 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002那么 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002Delta对冲 Delta ()：期权价格对标的资产价格的变化比 率 对于欧式看涨期权, 对于欧式看跌期权, 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002估计历史波动率 在间隔为 年的期间观测到 计算连续复利 估计波动率 (标准差) 每年的波动率： 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002隐含波动率 期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价 格与市场价格相等的波动率，即 期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应 在柜台市场（OTC），交易者和经纪商经常不是报货 币价格而是报隐含的收益率 隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有 效期内的平价波动率的一致估计（预期） 隐含波动率是前瞻性的 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002公司负债与股东权益 股东权益相当于拥有一个以D为执行价格的对 于公司价值V的看涨期权 EVD北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002公司负债与股东权益 公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权 VDVD北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002实物期权 投资： 有权选择投资时机，获得投资回报，但是没 有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资 在未来产生的现金流就是资产价格 与传统NPV分析的关键区别：- 不确定性（风险）是有价值的！- 管理弹性（Managerial flexibility ） 战略工具，但是大多数情况下难以准确估价 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002实物期权的主要类型 等待以在将来投资（看涨期权） 放弃（看跌期权） 弹性（看涨期权） 后续投资（看涨期权） 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002等待期权 (1) 传统的NPV：要么现在投资，要么永不投资 但第三种选择是等待以在将来投资 期权价值 内在价值(IV) + 时间价值 (TV) TV = 能够等待的价值 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002等待期权(2) 决策法则 传统的NPV接受项目，如果NPV 0 ，即IV 0实物期权接受项目，如果NPV 期权价值 风险更大的项目 期权价值更高 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002等待期权 (3)：例子 石油公司获得某区块的5年期开采权 NPV 期权价值 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002弹性期权 汽车制造商在数个国家都有生产设备 双燃料锅炉，可以选择烧油还是烧煤 比较一家大型电厂与两家或更多的小型电 厂 北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002后续期权 初始投资产生了后续项目的投资机会 例子：R offer for sale by tender北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002投资银行在IPO中的作用 投资银行的作用 提供建议 购买新发股份 把它们销售给公众 以价差形式获得回报 最大努力协议（Best efforts arrangement) 与承销协议北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002我国发行成本(吴立范, 2002)发行规 模公司 数目筹资总 额（万 元）直接费 用（万 元）折价 （万元 ） 1亿以 下176774407165132441-3亿1912171490635531164 3-6亿21241716140554442131 6-9亿687280220316441588 9-12亿17 10657926297813173 12亿以 上26 225981？ 15637369北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002IPO例子: Railtrack 发行方式国际直接发行（An international tender offer）英国公开发行（A UK public offer）零售发行（A retail tender offer） 招股说明书发布日: 15 April 进行公开招股 招股结束时间：12pm on 15 May 价格宣布日和交易首日: 20 May北京大学光华管理学院金融系 徐信忠 2002IPO中的定价偏低现象 在美国，IPO平均定价偏低的幅度是发行 总价值的15%左右 在中国，从1997到2001首日平均收益为 138(吴立范，2002)在591家新上市公司中，最低首 日收益为0.73%;最高首日收益为830%在1997到2001年间，新股发行市 盈率的年平均水平为：14, 15, 22, 34, 30从新股上市公告书中发现，流通 股东前十家中都是承销商 赢家的诅咒（Winners curse)北京大学光华管理学院金融系