1.3.2“1.3.2“杨辉三角杨辉三角” ”与与 二项式系数的性质二项式系数的性质一般地，对于n N*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数 有什么特点？1“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二项式系数的性质二项式系数的性质展开式的二项式 系数依次是： 从函数角度看， 可看 成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右 图中的7个孤立点二项式系数的性质二项式系数的性质2二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等这一性质可直接由公式得到图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。 可知，当 时，二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和 二项式系数的性质二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系 数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 一般地， 展开式的二项式系数有如下性质：（1）（2）（3）当 时，（4）当 时，课堂练习：1）已知 ，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值 是 ；3）若 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大，则n= ；例1 证明在 的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项例2 已知 的展开式中，第例3： 的展开式中第6项与第7项的系 数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最 大的项。变式引申：1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不 含x的项等于( )A.210 B.120 C.461 D.416例4、若 展开式中前三项系数成等差数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项；（3）展开式中系数最大的项。1、已知 的展开式中x3的系数为 ，则常数a的值是_ 2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是_课堂练习4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤 其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关 二项展开式系数的问题的重要手段。小结小结直销系统 www.izhixiao.org 直销系统 nry51ksq 儿说：“我不是玩儿去的。姆妈给了我一个大铜板，我要去拐子（拐子是当地方言，即哥哥）在的那个干热面馆子里吃面去！”说完，蹦蹦跳 跳地朝着干热面馆跑去了。尚武看耿老爹失神地望着院门儿，就试探着轻轻问：“义父，咱们进去看看吗？”耿老爹望着院门儿慢慢地摇摇头 ，轻轻地说：“不用了，义父已经丢失了三个娃儿，进去见了她们，也只能是让大家伙儿再伤心一场啊！我们父子四人当年在这个院儿里住了 半年多，她们母女和三个娃儿的感情很深哪，还有她家的女婿，都很熟悉”一刻，耿老爹慢慢收回眼神，叹一口气果断地对尚武说：“唉 ，不进去了！咱们这就顺着前面这条大路往码头渡口上去吧。”“驾！”尚武甩一个响鞭，棕色大骡“嗒嗒嗒”疾步往码头渡口去了。他注意 到，在去码头渡口的这一路上，义父的眼泪一直没有停止过。进了码头后，耿老爹想起来当年父子四人南下前与船老大话别时，曾经说过返回 时要再来看望这个难得的好人的，要不见一见哇！正在犹豫着，远远望到前面走来一个壮壮实实的中年船工，耿老爹赶快让尚武停车。两人下 车来走几步，耿老爹弓身向对面走来的船工施礼问道：“请问这位兄弟，七年半之前在这个码头上执事的船老大还在这里做事吗？”这个船工 重重地叹了一口气，说：“唉，半年前，这船老大突然就没了，现在是当年的船老二执事呢！唉，老大好人啊！他人好去得也很痛快，一觉就 睡过去了，也算是老天照应了啊！人总有一死嘛，好死也是福啊！”说完，摇着头走了。留给耿老爹的，免不了又是一阵伤感。上一班渡船刚 走不久，下一班渡船开船还需要差不多半个时辰呢。尚武就将大骡车停在一边，父子俩下车来活动活动腿脚，看着江面说话。耿老爹给尚武讲 述了仗义的船老大当年用千盏荷花灯祭奠好兄弟白百大的感人之举，不无伤感地说：“真没有想到啊，这个船老大如今也去了”下一班渡 船慢慢地靠过来接过江的客人了，尚武牵起棕色大骡拉着骡车上船，耿老爹跟在车后慢慢走上渡船。想着父子们当年继续南下前最后一次来江 边祭奠白兄弟时，耿正曾经说过，父子们返回时路过长江，还要再给白幺爹拉一段二胡曲儿的。而如今儿女们生死未卜，自己身边也没有带二 胡，耿老爹的心里既伤痛又愧疚开船起锚的号声响了，渡船开始缓慢地向长江的北岸移动。忽然，远远望见三个人风风火火地跑上码头来 了，并且一边跑着，一边还在朝着已经行至江心的渡船不断地招手呼喊着什么。站在渡船尾部的耿老爹定睛一看，猛然间发现竟然是小青和东 伢子扶着乔氏跑来了！尽管时间已经过去七年半了，但耿老爹还是离着老远就一眼认出了他们。他们显然是也看见耿老爹了，都在声嘶力竭地 向这边招手呼喊着什么。耿老爹的眼泪再次哗哗