概率论与数 理 统 计一、条件概率的概念例1.4.1一只盒子里混有100只新旧乒乓球，各有黄 白两色，分类如下：新4030 旧2010从盒子中随机取出一个球，若记A=从盒子中随机 取出一个球，该球为新球，若事先知道取出的是黄球，则上述概率为记B=从盒子中随机取出一个球，该球为黄球1.条件概率的定义条件概率的性质例1.4.2某种灯泡用5000小时未坏的概率为 ，用 10000 小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已用了 5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000 小时” 我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即 所以AB=A， 这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能 性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很 自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量 较次的灯泡。 二、乘法公式 若 ， 由条件概率定义，可得 上式称为事件概率的乘法公式 它可推广到任意有限个事件 设 为任意n个事件，满足 例1.4.3 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来 的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占20%，乙 市占18%，两地同时下雨占12%。求：1）两市至少有一市是雨天的概率；2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。解例1.4.4有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人 抓到票的概率是多少？（i=1，2，7）解： 设 =“第i个人抓到票”，（i=1，2，7 ） 如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。 这就是说 ，所以 于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有 抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中 抓到电影票，所以 类似可得 例1.4.5设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只 白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽 样，问两次都拿到白球的概率是多少？解法一： 用古典概型来做 设A=“两次都拿到白球”， 解法二： 用乘法公式来做， 设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”， AB=“两次都拿到白球”， 三、全概率公式例1.4.6 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有6只白球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任 取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Ai出现， 例如A是由原因Ai所引起，则A发生的概率是P (A Bi)=P(Bi)P(A |Bi)每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生 概率的总和. “全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求 条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成几个互不相 容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。定理： 设 为一列互不相容的事件，且 则对任一事件A，有证明见书。 上述公式称为全概率公式。 AB1B2B3Bn.全概率公式的来由, 不难由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之 和.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发生可能性大小 P(Bi | A)作新的估计.i =1,2,3定理：设 为一列互不相容的事件，且有，对任意的事件B，则有 这个公式称为贝叶斯公式（逆概公式）。四、贝叶斯公式（逆概公式）在贝叶斯公式中，P(Bi)和P(Bi |A)分别称为原因的验 前概率和验后概率. P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件A是 否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认 识.当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Bi | A)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。练：1.盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一 次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。（1）求第二次取出的全是新球的概率 （2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都 是新球的概率。解： 设 =“第一次取出的3只球都是旧球”， =“第一次取出的3只球中有1只新球” ，=“第一次取出的3只球中有2只新球”， =“第一次取出的3只球都是新球”， B=“第二次取出的都是新球”。2某工厂有1，2，3三个车间，它们生产同一种螺钉，其产量分 别占总产量的25%，35%，40%，每个车间的成品中，次品占 产品的5%，4%，2%，现从全部螺钉中抽取一个产品，求 （1）它是次品的概率 （2）若已知它是次品，它是1，2，3车间所生产的概率 解： 设 =“抽到的是i车间的产品”， B=“抽到的产品是次品”，3、子弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，大、中、小三种弹 片打中坦克的概率分别等于大、中、小三种弹片数量之比1：3 ：6，若大、中、小三种弹片击中坦克则其击穿坦克的概率分 别为0.9,0.2,0.05，求 （1）击穿坦克的概率； （2）若已知坦克被击穿，分别是由大、中、小三种弹片击 穿的概率。解： 设B=“坦克被击穿” 表示坦克分别被大、中、小三种弹片击中 （1）两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03 ，第二台出废品的概率是0.02，加工出来的零件放在一起， 并已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任 意取出的零件是废品的概率。 （0.027） （2）播种用的一等小麦种子中混合2%的二等种子，1.5%的 三等种子，1%的四等种子，用一、二、三、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5，0.15，0.1，0.05，求 这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。 （0.4825） 练习：