第三章 数值积分 2、F(x)求不出; 3、F(x)非常复杂.一. 数值积分的基本思想3.1 引言2由积分中值定理abxf(a)y=f(x) yf(b)Of()-平均高度3xabf(a)y=f(x) yf(b)O梯形公式4中矩形公式abxf(a)y=f(x) yf(b)O5用f(x)在离散点处的函数值的线性组合近似代替积分 值的方法称为数值积分根据积分定义数值求积公式6该类数值积分方法称为机械求积法，记为数值求积公式求积系数只与节 点有关，与被积 函数无关.7两个问题： 1、系数i如何选取，即选取原则 2、节点如何选取，取什么点好？定义以上两个参数不同选择方法会得到不同的求积公式。二. 代数精度等价命题：8例题：设有求积公式试确定求积系数1，2，3，使得求积公式代数 精度尽可能的高，并指出它所具有的代数精度。解得：具有3次代数精度。9用插值函数的积分，作为数值积分三. 插值型求积公式插值型求积公式10代数精度分析由Lagrange插值余项，有可以看出，至少n次代数精度特别的：11若节点可以自由选取，一个自然的办 法就是取等距节点。对区间做等距分割所 得到的数值积分称为Newton-Cotes积分。7.2 Newton-Cotes 求积公式12对积分区间a,b做n等分，设节点步长只与n有关，可以事先求出Cotes系数一. 公式推导13n1时梯形公式14abxf(a)y=L1(x)y=f(x)yf(b)O梯形公式的几何意义15n2时抛物线(Simpson)公式16n4时类似地可得：Cotes公式17n(等分数)Newton-Cotes求积系数123456Cotes系数表181、梯形公式二. 余项一次代数精度192. Simpson公式三次代数精度3. Cotes公式五次代数精度一般的有N-C公式，n为奇数时，具有n次代数精度， N为偶数时，具有n1次代数精度。20三. 稳定性与收敛性稳定性：初始数据的舍入误差对计算结果的影响n7收敛性 ：211. 不使用高阶N-C公式， 2. 缩小积分区间 3. 利用积分的区间可加性四. 复合求积法22做等距节点，1. 复合梯形公式23由均值定理知复合梯形公式:24做等距节点，2. 复合Simpson公式25复合Simpson公式:26分别用复合梯形公式(取n=8)和复合的Simpson公 式(取n=4)计算积分：xk01/81/43/81/25/83/47/81f (xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492准确值：建立数据表例27取n = 8用复合梯形公式28取n=4,用Simpson公式29五. 变步长的求积法(区间逐次分半法)复合求积公式对提高积分精度是行之有效 的，但在计算之前须确定步长。步长太大，精 度难以保证；步长太小，计算量增加。为解决 这种两难的问题，我们常用变步长的求积法。30首先已经将区间 a, b 进行 n 等分，用复合的梯形公 式计算积分：再将区间 a , b 进行 2 n 等分，实际上是将每个 小区间再 2 等分，如此有：变步长的求积法是先对较大的步长进行 计算，然后将步长逐步折半，直至达到精度 要求。31于是有变步长的梯形公式：32例题用变步长的梯形公式计算：T1=0.5f (0)+ f (1) =0.9207355T2=0.5 T1+0.5f (1/2)=0.939793333The interval of integrate a,b: a=0 b=1 error :e=0.00001|Ti+1-Ti| i=1 T1=0.920735 i=2, T2=0.939793 0.019058 i=3, T4=0.944514 0.004720 i=4, T8=0.945691 0.001177 i=5, T16=0.945985 0.000294 i=6, T32=0.946059 0.000073 i=7, T64=0.946077 0.000018 i=8, T128=0.946082 0.000005integrate=0.946082准确值：0.94608334由前面的结论：则，3.4 Romberg求积公式35梯形加速公式36这说明，可以用低阶的公式组合后成为一个高阶的公式。类似，抛物线加速公式还可得，柯特斯加速公式(Romberg公式)3738Romberg算法 T1 =)0( 0T T8 =)3( 0T T4 =)2( 0T T2 =)1( 0T S1 =)0( 1T R1 =)0( 3T S2 =)1( 1T C1 =)0( 2T C2 =)1( 2T S4 =)2( 1TT16 =)4( 0TS8 =)3( 1TC4 =)2( 2T R2 =)1( 3T39计算步骤40例题(P129)用Romberg公式计算：41Newton-Cotes积分公式，可以知 道n为偶数时，n1个点数值积分公式 有n1阶精度。是否有更高的代数精 度呢？ n +1个点的数值积分公式，最高可以 到多少代数精度？3.5 Gauss积分公式42一点数值积分0次代数精度1次代数精度例：1次代数精度43例：在两点数值积分公式中,如果节点也作为未知量,则有 4个未知量可以列出4个方程:(以f(x)在-1,1为例)可解出：得数值积分公式具有3次代数精 度，比梯形公式 1次代数精度高44n +1个求积节点的数值积分公式，最高2n+1次代数精度 。 证明：取易知：也就是说，数值积分公式，对一个2n+2次的多项式是有误差的， 所以，n1个节点的数值积分公式不超过2n1次代数精度。定理45如何构造最高精度2n+1次的公式？a,b上的n+1次正交多项式的n+1个零点为Gauss点，数值积分公 式有2n+1次的代数精度46(2)求出pn+1(x)的n+1个零点x0 , x1 , x2 , xn 即为Gauss点. (1)求出区间a,b上的n+1次正交多项式pn+1(x) .(3)计算求积系数 Gauss型求积公式的构造方法47区间-1,1上的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. Gauss-Legendre求积公式中矩形公式 一次代数精度一个节点 ：48两个节点 ：49nxkknxkk 10260.9324695142 0.6612093865 0.23861918610.1713244924 0.3607615730 0.467913934620.5773502692130.7745966692 00.5555555556 0.8888888889 70.9491079123 0.7415311856 0.4058451514 00.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.417959183740.8611363116 0.33998104360.3478548451 0.652145154980.9602898565 0.7966664774 0.5255324099 0.18343464250.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.362683783450.9061798459 0.5384693101 00.2369268851 0.4786286705 0.5688888889公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .Gauss求积公式的节点和求积系数50因此,a, b上的Gauss型求积公式为一般积分区间为a, b的Gauss型求积公式：做转换：例：书上P13651 Gauss 求积公式的余项 ： 稳定性与收敛性：Gauss求积公式是稳定的 若f(x)在a,b连续，则Gauss求积公式收敛521. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值，2. 函数f(x)过于复杂.这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。 因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数7.6 数值微分53误差插值型数值微分54给定点列且，求解：例：55三点数值微分公式56x00.900.991.001.011.102 f(x)1.000 2.460 2.691 2.718 2.746 3.004 7.38957x00.900.991.001.011.102 f(x)1.0002.4602.6912.7182.7463.0047.38958x00.900.991.001.011.102 f(x)1.0002.4602.6912.7182.7463.0047.38959x00.900.991.001.011.102 f(x)1.0002.4602.6912.7182.7463.0047.38960结果比较e1h=1h=0.1h=0.012.718283.1952.7202.750随着步长的缩小，截断误差应该缩小了但是，随着步长的缩小，舍入误差却增大了61