第10讲 边值问题初步（续）、分界面边 界条件导体内部导体表面复 习静电场中的电介质什么是电偶极子？电偶极矩的大小？方向？如何解释电介质对静电场的影响？极化电荷面密度极化电荷体密度各向同性？线性？均匀电介质？电场强度和电位移矢量之间的本构关系是？高斯通量定理的积分形式？微分形式？高斯通量定理适用于任何电荷发布的情况？为何引入电位 ？()【微分形式】 A) 静电场的基本方程10.1 边值问题初步【积分形式】【本构关系】 （线性，各向同性媒质）静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。B) Possion方程和Laplace方程【Laplace方程】在直角坐标系中：【Possion方程】在广义正交曲线坐标系中： 计算方法C) 一维泊松方程的解在静电场中，一般求解以下各类问题：1） 给定电场分布，要求电荷分布。 在许多实际问题中，只有那些电荷分布具有某种对称性，并且没有边 界或有边界，边界也具有相似的对称性的简单问题才可用直接积分或高 斯通量定理求解。在工程应用中，许多电场总是要用间接方法求解。常遇场区域有限，在 区域内可能有电荷分布，也可能没有电荷分布，而在区域的边界上场量 要受到某种边界条件限制的问题。像这一类在给定边界条件下求解场域 内的场（一定边界条件下微分方程的解）的问题，称为边值问题。2） 给定在有限区域内的电荷分布，场域为无限大内，且电介质是均匀 、线性和各向同性的，要求电场强度。 边值问题 边值问题求解方法泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。【例3】列出求解区域的微分方程 图1.4.1 三个不同媒质区域的静电场【例2-9】 已知导体球的电位为（无穷远处的电位为0) U，球的半径 为a，求球外的电位函数。 解 球外的电位满足拉普拉斯方程，且电场 具有球面对称性， 【例2-10】 两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为U0 ，并充满密度为 0x/d 的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。解 据题意，已知条件可表述为 比较例2-710.2 静电场的边界条件(B.C.，Boundary Condition)当静电场中有媒质存在时，媒质与电场相互作用（如极化等），使在 介质（dielectric）中的不均匀处出现束缚电荷，在导体（ conductor）表面出现感应电荷。这些束缚电荷及感应电荷又产生电 场，从而改变了原来电场的分布。在两种不同媒质的分界面上，束缚电荷和感应电荷使分界面两侧的电场 出现不连续。由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种 变化规律称为静电场的边界条件。介质1介质2r1r2r3r4 0 2 1金属边界微分方程反映了空间点上静电场的特性。但是，它们只适合于场函数连续可导的情形。对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不再适用。有时研究的问题是有界的，在边界上，场方程的微分形式也不再适用研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，因为积分形式的方程不受边界约束。以分界面上点 P 作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ ）。 1)、 电位移矢量D的边界条件分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。则有根据 是分界面上的自由电荷，an为分界面的法线方向单位矢量由介质 2 指向介质 1。对于分界面两侧，得 h SD1D2 2 1anP对于各向同性的线性介质，得 此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续的。 还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 可见，在介质分界面上法向电位移和电场强度之所以不 连续是因为在分界面上分布有表面电荷。2）、电场强度E的边界条件以点P 作为观察点，作一小矩形 回路（ ）。 分界面两侧 E 的切向分量连续。在电介质分界面上应用环路定律根据 则有 对于各向同性的线性介质，得 利用矢量恒等式求 解See p68表明：（1）理想导体(电壁，PEW, Perfect Electric Wall)是等位体，导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量； v 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的边界条件为： 介质1E1, D1导体2en导体处于静电平衡状态 时（2）当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表 面上;（3）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。v 理想介质分界面上的边界条件：n矢量代数简洁了复杂语言的描述？因此表明: 在介质分界面上，电位是连续的。3）、用电位函数 表示分界面上的边界条件设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。图1.3.4 电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的边界条件应是如何呢？在交界面上不存在 时，E、D满足折射定 律。折射定律图1.3.3 分界面上E线的折射4）、理想介质分界面上电场的方向关系解：忽略边缘效应图（a ）图（b）【例4】 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。（a）（b）图1.3.5 平行板电容器【例2-12】 在聚苯乙烯( )与空气的分界面两边，聚苯乙烯中的电场 强度为2500V/m，电场方向与分界面法线的夹角是20，如图所示。试求：（1 ）空气中电场强度与分界面法线的夹角；（2）空气中的电场强度和电位移。 （2）由 ，即 ，可得 解：【例5】已知半径为r1 的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4 ，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图示。试求：各区域中的电场强度；各个表面上的自由电荷和 束缚电荷。r1r2r3r4 0 2 1解 由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。 在 r r4 区域中，求得根据 及 ，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为r1r2r3r4 0 2 1r = r1:r = r4:r = r2:r = r3:作 业Page90: 2-16, 2-17, 2-19，2-20h SP1P2 2 1an附：介质分界面上束缚电荷面密度 的计算