2 0 1 5 年1 0 月 教学导 加强类比教学 ， 注重关联拓展 以“ 等边三 角形 ” 教 学为例 江苏省如东县岔河 中学杨小红 不同版本的教材中， 等边三角形通常被安排在等腰 三角形之后， 学生 自主探究并证明等边三角形的性质与 判定 ， 从而得出一些“ 升级” 之后用“ 黑体字” 定理 ， 再例 题讲评 、 习题训练 这样的教学安排固然倡导 了学生研 究新 知的 自主性 ， 然 而从贴近 学生 “ 最 近发展 区” ， 基 于 数学前后一致 、 逻辑连贯的高度来看 ， 等边三角形教学 探究的形式 ， 得 出大量重复试验的结果 通过对实际问 题的亲身体会和探究， 使学生对概率这一概念有了更深 刻的认识 除此， 还在课后作业 中布置了选做题 ： 查阅有 关概率的起源及发展的相关资料 这是因为概率论与数 理统计是数学 的一个有特 色且十分活跃 的分支 ， 通过 了 解它 的起 源和发 展 ， 一 方面激 发学 生 的学 习兴趣 ， 扩 大 学生 的视野； 另一方面， 是想借助这个手段达到数学教 学的较高层次的 目标 ， 加深对概率意义的理解 ， 以达到 学生数学素养的培养与提高的目的 心理学家布鲁纳提出： “ 学习的最好刺激乃是对所 学材料的兴趣 ” 有效的课堂教学 ， 首先应注重对有效学 习材料 的遴选 鉴于课堂时空 的局限 ， 我们应从众多的 材料 中选择最能为教学 目的服务的作为延伸材料， 并找 准衔接口， 从而使学生在某一或某些方面从狭小走向广 阔， 从无知走向多识 3 “ 问题 ” 关注 人的发展 。 让数学 学 习“ 充盈 ” 着人 文 关 - 知识和能力的发展 ， 很大程度上取决于学生的精神 生活是否丰富 因此 ， 教学 中不但不能忽略学生的学习 动机和思想情感 ， 而且应该始终把对人的关怀贯穿于教 学 中 在“ 逐步深入 ， 合作探究” 环节 ， 教师先出示体育 比 赛中充满随机事件使得 比赛紧张刺激 ， 生活中充满随机 事件使得每个人的人生各有不同， 各有精彩 ， 而后出示 “ 车祸” “ 地震” 的图片 ， 提出问题 ： “ 我们是否会因为身边 会发生这样 的随机事件而时刻充满恐慌 ? ” ， 再联 系学 生 的举例又提出“ 我们有没有因为再怎么努力 ， 得满分还 总是个随机事件 ， 而就放弃了今天的努力呢?” ， 在解决 问题 的过程中让学生学会了与他人合作 、 交流 ， 结合实 际生活 ， 培养学生勇敢 、 乐观 、 勤奋等良好的心理品质 在“ 小组合作， 应用巩固” 环节 ， 当出示数学家们的 试验结果时，学生惊讶于数学家们的实验次数之大， 教 师适时进行教育：数学家们为了得到一个科学规律， 将 这样一个在今天看来很简单的数学问题通过大量反复 的试验去探求结果， 他们这种执着的科学精神很值得我 们学习 五 、 写在后面 本节课作为随机事件的第一节课， 执教者整合教材 有其合理成分 ， 但要考虑学生的实际接受能力和实际效 果 因为安排内容较多 ， 考虑到教学时间， 教师在实际教 学中能否从容 、 妥帖安排好诸多“ 试验” 和“ 探究” 内容? 学生如不能很好地体验“ 大量重复试验” 这一过程 ， 往往 会影响学生而后对频率和概率关系的理解 “ 小组合作 ， 应用巩 固” 环节的设计仍有商榷之处 事实上， 概率不等于频率， 频率是概率的近似值 ， 概率是 频率的稳定值； 频率依赖于具体的试验， 随着试验次数 的变化可能发生变化，概率是随机事件内在的本质属 性， 不随着试验次数的变化而变化 这是初中学生理解 概率的一个难点 ，对概率概念的理解往往有个循序渐 进、 不断感悟的过程， 期望在一节课中达成“ 体会随机事 件发生的可能性大小的不 同， 理解概率的意义 ， 了解用 频率估计概率的方法” 这一 目标 ， 对于实际教学来讲显 得有些过急、 过高 本节课是“ 概率初步” 的第一节课， 把 对随机事件的理解和随机观念的渗透作为教学重点比 较稳妥 目 初 中 版中 ? 擞? 学导航 2 0 1 5 年l 0 月 应该有很多值得研讨的空间 本文呈现最近笔者开设的 一节等边三角形的教学设计 ， 并阐释相关教学立意 一 、“ 等边 三角形 ” 教 学设计 ( 一 ) 教学 目标 ( 1 ) 从等腰三角形出发 ， 特殊化后研究并概括等边 三角形的性质与判定； ( 2 ) 利用等边三角形的性质与判定解决问题 ， 应用 新知简化推理证明； ( 3 ) 将等边三角形“ 取半 ” 研究含3 0 o 的直角三角形 的性质 ， 并“ 反过来” 思考它的逆命题， 传递数学研究的 方 法 ( 二 ) 重点和难点 重点是学生 自主探究并概括等边三角形的性质和 判定 ； 难点是灵活应用新知简化推理证明 ( 三 ) 教学流程 1 开课 引 入 如图 1 ， 三 边 相 等 C B C 图 1 从一般三角形出发 ， 不断添加强化条件 ， 先增加有 两边相等 的三角形 ， 为前面刚学的等腰三角形 ， 继续特 殊化， 当三边都相等时 ， 得到等边三角形 板书本课的课 题 ： 等边三角形 再板书等边三角形的定义： 三边相等的三角形称为 等边三角形 2 新知探 索 问题1 ： 等边三角形有哪些性质呢? 问题2 ： 如何判定一个三角形为等边三角形? 预设意图： 引导学生回顾等腰三角形的研究套路 ： 定义一性质一判定一应用 按此“ 套路” 学生 自主研究等 边三角形 学生 自主探索之后 ， 小组内交流， 最后大组内 汇报展示， 教师按“ 套路” 板书( 见后面“ 板书设计” ) 比 如概括等边三角形的性质时 ， 可以从边 、 角、 重要线段、 对称性等角度来展开； 等边三角形的判定可以从边、 角、 一个角为6 0 。 的等腰三角形等角度展开 需要指出的是 ， 考虑到教学时间和学生已有的全等证明经验， 关于等边 三角形的性质或判定的证明过程以教师追问学生依据 一十。7 擞7初 中 版 为主， 不安排书面书写证明过程 ， 这不是本课的重点 3 例题教学 例题如图2 ， AA B C 是等边三角形， D E B C，分别 曰、 AC 于点D、 E求证 ： AA D E 是等边三角形 A C 图 2 教学预设 ： 本题证明方法很多， 可以从边 、 角 、 等腰 三角形等角度出发 ， 寻找强化出来的条件证明等边三角 形， 教师通过追问不同学生的理解 、 多解证明的展示巩 固等边三角形的性质与判定 例题变式 ： 如图3 ， AA B C 是等边三角形 ， 点D 在B A 的延长线上 ，作D E B C，交AC 的延长线于点E 求证 ： D E 是等边三角形 E_ D ， 图 3 教学预设 ： 通过变式 ， 让学生从点在边A B 上 ， 到在 直线A B 上 ， 传递从特殊到一般的研究意识 4 拓展研究 继续回到等边三角形 ， 如图4 ， 作出等边三角形AB C 的一条角平分线A D 后 ， 由“ 三线合一” 得出直角三角形 AB D， 抽离出图5 ， 引导学生标注出图5 中的锐角厶4 的度 数 ， 并设计问题 提问 ： 图5 中 ， B D、 A B 有怎样 的数量关系 ? ( A B = 2 B D) 如何证明?( 补成图4 这样的等边三角形即可 ， 安排学生 讲解思路 ) 变式 ： “ 反过来 ” 思考 ， 如图6 ， 在R t AA B D中， D= 9 0 。 ， 且4 B = 2 B D， 能否求出厶4 的度数呢?( 预设 ： 学生延 长肋 到c， 使B C = B A， 既补全图形得到图4 ， 然而此时证 明AA B C 是等边三角形方法是有区别的， 先安排学生独 立思考 ， 写出证明过程， 并安排学生板演证明过程， 以备 教师点评 ) G 图 4 图 5 图 6 2 0 1 5 年1 0 月 教学导 5 小 结 小结问题1 ： 本课研究等边三角形时， 主要是从哪些 角度来概括的?你有怎样的研究心得与其他同学分享 呢? ( 比如， 学生可以从板书中讲述等边三角形研究的套 路 ) 小结问题2 ： 一幅三角板中没有用等边三角形 ， 却用 了两个直角三角形， 你觉得这是什么原因? ( 一幅三角板 中的两个直角三角形分别含有3 0 。 、 4 5 。 ，它们分别可以 拼成等边三角形 、 正方形 ， 让学生感受工具的“ 求简” 追 求 ) 6 布 置作业 原创题 ： 如图7 ， D、 E 分别为等边AA B C 的边B C 、 AC 上的动点， 且B D = C E ， 连接B E、 A D 交于点 C 图 7 ( 1 ) 求证 ： AA B D AB C E； ( 2 ) 求 _ B F D 的度数； ( 3 ) 作A 日上B E 于点日， 求证： A 2 用 ； ( 4 ) 小凡练习以上问题后 ， 提 出一种变式拓展的思 考 ， 当点D、 E 分别在C B、 A C 的延长线上时， 直线B E 、 A D 相交于点F ， 其余条件不变 ， 请画出符合要求 的图形 ， 猜 想A 与册 的数量关系， 并说明理由 设 计意 图 ： 求 出 厶4 F E 为 6 0 。 是关 键 ， 可得 出 日 为3 0 。 ， 从而得出含3 0 。 的直角三角形 最后一问虚拟学生 变式拓展的思考 ， 意图启发学生学会探究 ， 渗透从特殊 到一般的探索方法 ( 四 ) 板 书设计 等边三角形 二、 教 学立意 的进一步 阐释 C 1 加强类 比教学 。 渗透数 学研究的“ 套路意识” 数学训练很多数学思想方法， 其中类 比就是一种重 要的思想方法 日本数学家米山国藏所指出的 ： 数学是 一步一步向上走彳 艮 多数学新知识 、 新概念的研究， 常常 要借助于之前所学知识 的基础 、 方法 、 研究思路来继续 新的发现探索 ， 这时注意向学生渗透研究问题的套路意 识就显得十分重要 如本课 中， 注意引导学生借助在等 腰三角形学习过程中积累的研究套路 ： “ 定义一性质一 判定一应用” ， 学生可以按此进行 自主探索 、 归纳概括 ， 再小组交流、 全班展示， 追求对话教学的真实互动 2 注重关联拓展 。 将数学课堂“ 向四面八方打开” 义务教育数学课程标准( 2 O l 1 年版) 关于“ 课程目 标” 下“ 总目标” 第2 点即指出： “ 体会数学知识之间、 数学 与其他学科之间、 数学与生活之间的联系” 美国国 家数学委员会 ( N a t i o n a l Ma t h e m a t i c s A d v i s o r y P a n e 1 ) 的 成员伍鸿熙教授指出， “ 数学是连贯的； 它是一张编织紧 密的挂毯 ，其 中所有概念和技巧逻辑严密地编织在一 起 ， 形成一个统一的整体 ” 然而就我们在 日常教学观摩 中所见 ， 很多例题 、 习题的设计常常是较低层次的关联、 链接 ， 且多属于拼凑式的习题单式的学案类型 正是认 识到上述不足 ， 我们预设一道例题并变式 ， 本课的作业 也是一道与例题类似的原创题， 而在拓展研究中从等边 三角形抽离出一个含3 0 度的直角三角形 ，并引导学生 “ 反过来” 研究其逆命题 ， 这些努力都是向学生传递“ 特 殊与一般” 之间的关系 ， 让学生感受到数学习题的变式 拓展的一些可能 想来 ， 如果能长此以往 ， 我们的数学课 堂应该就是学者所指出的“ 向四面八方打开” 的开放教 学吧 参考文献 ： 1 【 日】 米山国藏 ， 著 数学的精神、 思想和方法 M 毛正 中， 昊素华 ， 译 成都 ： 四川教 育出版社 ， 1 9 8 6 2 曹一 鸣 为改进数 学教 育而