2.5 行列式依行（列）展开第二章 行列式上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角 或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一 个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列 式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通 过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。例如第二章 行列式如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列 式转化为n-2阶，而行列式的阶数越小越容易计算，我们 就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。 为了这个目的，我们需引进如下概念：一、余子式和代数行列式 定义1（余子式）： 在一个n阶行列式中，划去元素所在的 行和列，余下的元素构成一个n-1阶子式，称为元素 的余子式，记为第二章 行列式定义2（代数余子式）： 的余子式附以符号后，称为元素的代数余子式，记为。 例2.5.1. 在行列式中，求元素p和s的余子式和代数余子式。二、行列式依行（列）展开先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列） 除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。第二章 行列式引理： 如果行列式中，第i行（或第j列）中元素除了外其余都是零，则 证明：1、D中第一行元素除外其余皆为零，这时第二章 行列式2、假设D中第i行除外其余皆为零，这时第二章 行列式此时把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对换， 再把第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对换，这样共 经过（i-1）+（j-1）次行与列的对换，则D转化为注意到行列式中任两行（列）的对换改变行列式的符号，故第二章 行列式3、行列式依行（列）展开 定理2.5.1 行列式等于它的任意一行（列）中所有元素与其代数余子式乘积的和，即有或 证：第二章 行列式定理2.5.2. 行列式中，某一行（列）中元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即有第二章 行列式考察行列式然后按第j行展开即知。例2.5.2. 计算行列式第二章 行列式解：第二章 行列式例2.5.3 计算行列式解：计算行列式的一个基本方法是：先利用行列式的性质把某 行（列）化成有尽可能多的零，然后把行列式按这行（列）展 开，这样计算要简单。如果不分青红皂白把行列式降阶，由于 要计算的行列式个数成倍增多，则计算量未必减少。第二章 行列式例2.5.4 计算范德蒙行列式解：第二章 行列式第二章 行列式这种计算行列式的方法称为递推法证明范德蒙行列式也可用归纳法证之