2 0 1 4年 l 0月 备考指南 对称问题教学过程的全景剖析 江苏省拼茶高级 中学杨益华 对称问题是高中数学平面解析几何中的一个重要 内容 ， 它应用广泛， 为后续的学习内容奠定学习基础 具 体来说 ， 根据对称的特点 ， 可以分成轴对称和中心对称 两类， 又可根据对称的要素分为点关于点、 点关于线 、 线 关于点 、 线关于线对称四类问题 在教学过程 中老师以 四种类型为模板讲解对称问题 ， 加以习题训练 ， 取得了 一定成果 ， 但也存在一定的问题 ， 值得反思 对称问题是高中数学解析几何中经常遇到的一类 题型， 是教学的重点和难点 在过往的教学中， 学生的表 现往往不尽如人意 笔者对这一问题的教学进行过多次 反思， 老师讲得很“ 到位” ， 学生却是“ 江郎才尽” ， 这是为 何?现将反思过程记叙如下 一、诊 断 对称 问题教 学的初 步思考 1 初 步认识 四种经典的对 称问题 直线中的对称问题主要有： 点关于点对称 ； 点关于 直线对称 ； 直线关于点对称； 直线关于直线对称 ( 1 ) 已知点A( 一 3 ， 5 ) ， 求点A关 于点P( 2 ， 1 ) 的对 称点8 ( a ， b ) ( 2 ) 求直线 + y 一 5 = 0 关于点P ( 2 ， 一 1 ) 对称的直线f 的 方程 ( 3 ) 求点4( 5 ， 1 ) 关于直线 一 4 y + 9 = 0 对称的点的坐 标 ( 4 ) 求直线z ： y + 3 = O 关于直线z ： 3 x + y + 1 = O 对称的 直线Z 的方程 在过往的教学过程中， 人们对以上四种问题的解题 方法进行了总结： 问题( 1 ) 中点关于点对称利用中点坐标 公式即可求解； 问题( 2 ) 中线关于点对称可用平行系方程 或者通过取两个特殊点求对称点来处理 ； 问题( 3 ) 中点 关于线对称的问题则可以通过中点转移法或相关点法 来解决 ； 问题 ( 4 ) 中线关于线对称的问题可以使用到角 公式或转化成点关 于线对 称的问题求解 试 究 2 四种对称问题的教学方法反思 在教学过程中， 笔者曾经多次听过这样 的一节课 ， 得到的结果是在现实的教学过程中数学老师往往直接 将它们归结成四种类型的题 目， 将各类型题 目的解题方 法教给学生， 然后就是大量的形式训练 ， 以此来提升学 生的解题技巧， 以期在相似的问题情境中学生能够将相 应的解题方法进行迁移 对于这种教学方式 ， 笔者的观 点是它违背了新课程的教学理念 ， 虽然它可以促使学生 迅速掌握处理问题的方法， 但对于问题的本质却一无所 知 ， 倘若出题者对问题进行稍稍变换， 学生往往不知该 怎样利用对称的方法来求解题 目， 这就如治病中的治标 不治本， 要解决学生“ 江郎才尽” 的问题 ， 让学生真正掌 握对称问题的处理方式，需要理清对称问题的本质， 而 不是简单地罗列出对称问题的类型和方法 3 理清四种经典对称问题 的本质 观察人们对上述对称问题的分类， 其实不难发现上 述四个问题还可以进一步归结为两类问题 ： 即关于线对 称和关于点对称的问题 这里需要与初中的知识做进一 步的联系， 在初中学习中， 学生曾经学过两类对称图形 ， 其一 ， 轴对称图形 ， 轴对称的性质是对称点的连接被对 称轴垂直平分； 其二 ， 中心对称图形， 中心对称的性质是 对称点的连线经过对称中心且被对称 中心平分 所谓轴 对称其实就是关于线对称 ， 所谓点对称就是关于点对 称 那么关于线对称的问题就转化成轴对称问题 ， 关于 点对称问题就转化成中心对称问题 在已知对称点( 线 ) 和对称中心( 轴 ) 的情况下， 关于线对称的问题可以利用 轴对称的性质， 建立垂直和平分两个等量关系； 关于点 对称的问题可以利用 中心对称的性质建立平分的等量 关，系 而上述归纳各种解题方法的根本就是对称的性质 老师将上述对称问题的本质引发出来 ， 让学生明白解决 问题的核心乃是利用轴对称和中心对称的性质， 通过性 质来建立等量关系是解题的钥匙 高 中 版中 ? 擞7 考试 研究 备考指南 2 0 1 4 年 1 0月 二、 处方对称 问题 的教学设计思考 在 明确 了要 让学生认 识对称 问题处 理方 式 的本 质 后 ， 笔者对教学设计进行了如下思考 1 复 习旧知 为认清 问题本质做铺垫 问题1 ： 请同学们回顾一下初中所学过的对称类型? 问题2 ： 你能回忆起每种对称有什么样的性质吗? 设计 意图 ： 通过 如上两个 问题 的设 置 ， 让学生 回忆 起初中所学有关轴对称和中心对称的本质及其性质 以 此做为铺垫， 为后续学生能够认清对称问题的本质及利 用对称性质做好知识准备 2 设置情境 为利用-性质解题 架桥梁 问题3 ： 分析下列四个例子 ， 归结出所给例子的对称 类型 ( 1 ) 已知点A( 一 3 ， 5 ) ， 求点A关 于点P( 2 ， 1 ) 的对 称点B ( a ， b ) ( 2 ) 求直线x + y + 5 = 0 关于点P ( 2 ， 1 ) 对称的直线z 的方 程 ( 3 ) 求点A( 3 ， 2 ) 关于直线 一 2 y + 4 = 0 对称的点的坐 标 ( 4 ) 求直线z ： y + 3 = 0 关于直线f 2 ： 3 x + y + 1 = 0 对称的 直线f 的方程 问题4 ： 依据你的分类， 能否利用对称的性质建立等 量关系?如果可以， 请你说明 设计意图： 通过第一个问题希望学生能够认识到对 称问题实质上就是轴对称和点对称 ； 通过第二个问题的 设置希望学生通过 自我探索能将问题与对称的性质联 系起来 ， 找到解题的途径 3 理论 阐释 为理解解题方 法做准备 ( 1 ) 关 于点对称 的问题 点关于点对称 ： 已知点A( a ， b ) ， 求点A 关于点P ( m， n ) 对称的点A 的坐标 分析 ： 根据上述分析可知， 关于点对称 的实质是中 心对称 ，则可用对称点连线被对称中心平分这一性质 根据性质可知， 对称中心是对称点连接的中点， 设A ( Y 。 ) ， 联系中点坐标公式可得粕= 2 m a ， y o = 2 n b 线关于点对称 ： 已知直线z ： A x + B y + C = 0 ， 求关于点 P ( m， n ) 对称的直线2 的方程 分析： 求解直线方程需要知道两个要件 ， 存在两种 可能 ， 其一 ， 已知两点 ； 其二， 已知直线斜率和一点 线是 由点组成的， 线关于某点中心对称 ， 则线上的任意两点 必然关于这个点中心对称 ， 可以将线关于点对称转化成 点关于点对称 设直线Z 上任意两点A( a ， b ) ， B ( c ， d ) ， 可求 它们关于点P 的对称点A ( 2 m a ， 2 n b ) ， ( 2 m C ， 2 n d ) ， 用两点式确定对称直线的方程 为了进一步简化计 算， 对上述过程进行几何分析如下 通过几何作图我们发现直线f 关于点P 对称的直线， 可以统一归结为与直线f 平行的情况， 因而可以用平行系 方程： A x + B y + C = 0 ， 点不在直线z 上 ， 可以发现点P 至 U 两直 线的距离相等( 如图1 ) ， 1 IA m + B n + C I m+ B n + C ，解 AX X 、 得C 一2 A m一 2 B n C 或C = C ( 舍) ； 当点 直线z 上时， C = C ( 如图2 ) 点环 在直线f 上 点赃 直线f 上 图 1 图 2 ( 2 ) 关于线对称的问题 点关于线对称 ： 已知点A( a ， b ) ， 求点A关于直线f ： A x + B y + c = 0 对称的 h a 的坐标 分析： 根据线对称的实质是轴对称 ， 则可以用对称 点的连线被对称轴垂直平分这一性质 根据垂直与平分 这两个性质使用的顺序不同可以有以下两种不同解法 ： 并行使用( 相关点法 ) 设A ( ， Y ) ， 由垂直 的性 ， A、 质可知， ( _ l = 一 1 ； 由平分性质可知， A A 的中点 P f ， 半 1 ， 而 点 脏直 线 址，点 尸 的 坐 标 满 足 直 线 方 程 ， 且 柏 + c = 0 ， 求解方程组 1 1 一 一 y - - b 4 拈 一 b + y+ c= 0， 1 即可得到点A 的坐标 顺次使用( 中点转移法) 由垂直性质可知， A A 垂 直于直线z ， IJ A A 的方程为 - A y + c = 0 ， 将A点坐标代 入， 求 出C = A 6 一 B a ， 则 A 的方程为 - A ， ， + ( A 6 一 B 。 ) = 0 ， 由中点性质可知A A 与f 的交点即为A点和A 点连线 的 柢 联 立 方 程 组 ： 解 坐 标 为 【A + B v+ C ： 0 ( ， 坐 标 (器，2 ) 线关于线对称 ： 已知直线Z ： A l X + B f y + C = 0 ， 求直线f 关于直线f ： A x + B y + c = 0 对称的直线 分析 ： 确定一条直线需要两点或一点与斜率 ， 线 2 0 1 4年 1 0月 备考指南 由点组成 ， 若两直线关 于某直线对称 ， 则直线上 的点 必然关于直线对称 ， 可 以将线关 于线 对称的问题转 化 成 点关 于线对称 的 问题 若两 直线 相交 ， 则 在 已 知直线 上取一 点M( n ， b) ， 求 出 点关 于f 的对 称点 ( - 2 一 ， 2 一 6 ) ， 再 求 出 z 与 z的 方 程联立 A 帖 求得交点P C B 1 - C 1B一 ，AI C- AC1，)tA x + B y + C-O A1 B- ABI ABI- A1 B， 利用两点式可以求出直线方程 4 讲解 例题 为解题知识迁移打基础 略( 参见教学过程) 5 形式训练 为运用解题方法搭平 台 略 三 、 下药对称 问题 的教 学过程实施 复习( 略) ； 情境设置( 略) ； 理论讲解( 略) 例题讲解： 例1 已知点A( 2 ， 1 ) ， 求点A关于点P ( O ， 4 ) 对称 的 点B的坐标 老师 ： 根据我们的理论分析过程 ， 本题应当使用哪 种性质来解决问题呢? 学 生 ： 中 心 对 称 的 性 质 ， 设 B ( 。 ，6 ) ，$ 1J 【 6a=：02-24=一-l ：27 ( 一 2 。 7 ) 例2 求直线x + y + 5 = 0 关于点P ( 2 ， 1 ) 对称的直线f 的 方程 老师 ： 求直线的方程我们需要知道的要素有 ： 两点 ( 两点可以确定一条直线) ； 一点和直线斜率 下面请两 位同学板演 学生A： 利用第一个思路 ： 取A( 0 ， 一 5 ) 和 ( 一 5 ， 0 ) ， 点 A 关于点P ( 2 ， 1 ) 对称的点A 的坐标为( 4 ， 7 ) ； 点B 关于点 P ( 2 ， 1 ) 对称的点 的坐标为( 9 ， 2 ) ， 直线A B 即为所求 直 线 f ，其 方 程 为 = 茜 x + y - l l= 0 学生 ： 利用第二种思路 ， 我们需要建立直线系方 程 ， 因此设直线f 的方程为x + y + c = O ， 因为对称中心到两 直线的距离相等 ， 1 2 + 1 + 5 1 ，求得C = - 1 1